- Evaluate
, where
. [Hint: Exploit the fact that
is symmetric with respect to both axes.]
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
onde
é o disco
Informações dadas e observações imediatas:
- O domínio
é o disco de raio centrado na origem. Logo é simétrico em relação ao eixo e ao eixo . - A função a ser integrada é a soma de três parcelas:
, e . - A integral dupla é linear, então podemos separar a integral em três integrais:
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): paridade de funções e cancelamento por simetria do domínio.
- Definição intuitiva: uma função
é ímpar em se para todos . Analogamente, é ímpar em se . - Propriedade de integração em domínio simétrico: se
é invariante pela reflexão (isto é, simétrico em relação ao eixo ) e é ímpar em , então
Justificativa rápida e elementar: para cada ponto
existe o ponto refletido
; os valores de
nesses dois pontos são opostos, então suas contribuições ao integral se cancelam. Formalmente, fazendo a mudança de variável
(com jacobiano absoluto
) obtém-se
, daí o integral deve ser zero.
- Mesma ideia vale para funções ímpares em
quando é simétrico em relação ao eixo .
Vou aplicar essas ideias às parcelas da função.
Passo 3
Analisar a parcela
.
- Paridade de
: , portanto é uma função ímpar de . - Paridade de
: é par, pois . - Produto par × ímpar = ímpar. Logo
portanto
é ímpar em
.
Como o domínio
é simétrico em relação ao eixo
(reflexão
deixa
inalterado), pela propriedade do passo anterior
Passo 4
Analisar a parcela
.
- Paridade de
: , logo é ímpar em . - O domínio
é simétrico em relação ao eixo (reflexão deixa inalterado), então, pelo mesmo raciocínio,
Passo 5
Analisar a parcela constante
.
- A integral da constante
sobre é simplesmente multiplicado pela área de :
- Área do disco de raio
: fórmula conhecida
- Portanto
Passo 6
Juntando os resultados (linearidade da integral):