1. Evaluate \iint_{D}\left(x^{2} \tan x+y^{3}+4\right) d A, where D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}. [Hint: Exploit the fact that D is symmetric with respect to both axes.]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}\tan x + y^{3} + 4\right)\,dA,
onde D é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 2\}.
Informações dadas e observações imediatas:
  1. O domínio D é o disco de raio r=\sqrt{2} centrado na origem. Logo D é simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y.
  2. A função a ser integrada é a soma de três parcelas: x^{2}\tan x, y^{3} e 4.
  3. A integral dupla é linear, então podemos separar a integral em três integrais:
\iint_{D} x^{2}\tan x\,dA + \iint_{D} y^{3}\,dA + \iint_{D} 4\,dA.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): paridade de funções e cancelamento por simetria do domínio.
  • Definição intuitiva: uma função g(x,y) é ímpar em x se g(-x,y)=-g(x,y) para todos (x,y). Analogamente, é ímpar em y se g(x,-y)=-g(x,y).
  • Propriedade de integração em domínio simétrico: se D é invariante pela reflexão x\mapsto -x (isto é, simétrico em relação ao eixo y) e g(x,y) é ímpar em x, então
\iint_{D} g(x,y)\,dA = 0.
Justificativa rápida e elementar: para cada ponto (x,y)\in D existe o ponto refletido (-x,y)\in D; os valores de g nesses dois pontos são opostos, então suas contribuições ao integral se cancelam. Formalmente, fazendo a mudança de variável (u,v)=(-x,y) (com jacobiano absoluto 1) obtém-se \iint_{D} g(x,y)\,dA = -\iint_{D} g(x,y)\,dA, daí o integral deve ser zero.
  • Mesma ideia vale para funções ímpares em y quando D é simétrico em relação ao eixo x.
Vou aplicar essas ideias às parcelas da função.

Passo 3

Analisar a parcela \;x^{2}\tan x.
  • Paridade de \tan x: \tan(-x) = -\tan x, portanto \tan x é uma função ímpar de x.
  • Paridade de x^{2}: x^{2} é par, pois (-x)^{2}=x^{2}.
  • Produto par × ímpar = ímpar. Logo
\bigl(x^{2}\tan x\bigr)\bigl(-x,y\bigr) = (-x)^{2}\tan(-x) = x^{2}(-\tan x) = -x^{2}\tan x,
portanto x^{2}\tan x é ímpar em x.
Como o domínio D é simétrico em relação ao eixo y (reflexão x\mapsto -x deixa D inalterado), pela propriedade do passo anterior
\iint_{D} x^{2}\tan x\,dA = 0.

Passo 4

Analisar a parcela \;y^{3}.
  • Paridade de y^{3}: (-y)^{3}=-y^{3}, logo y^{3} é ímpar em y.
  • O domínio D é simétrico em relação ao eixo x (reflexão y\mapsto -y deixa D inalterado), então, pelo mesmo raciocínio,
\iint_{D} y^{3}\,dA = 0.

Passo 5

Analisar a parcela constante \;4.
  • A integral da constante 4 sobre D é simplesmente 4 multiplicado pela área de D:
\iint_{D} 4\,dA = 4\cdot \text{area}(D).
  • Área do disco de raio r=\sqrt{2}: fórmula conhecida
\text{area}(D)=\pi r^{2}=\pi(\sqrt{2})^{2}=2\pi.
  • Portanto
\iint_{D} 4\,dA = 4\cdot 2\pi = 8\pi.

Passo 6

Juntando os resultados (linearidade da integral):
\iint_{D}\bigl(x^{2}\tan x + y^{3} + 4\bigr)\,dA = \iint_{D} x^{2}\tan x\,dA + \iint_{D} y^{3}\,dA + \iint_{D} 4\,dA = 0 + 0 + 8\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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