1. A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He e das moléculas de \mathrm{CH}_{4} na temperatura (ii) 298 K.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade média (velocidade média de partículas segundo a distribuição de Maxwell–Boltzmann) dos átomos de \mathrm{He} e das moléculas de \mathrm{CH_4} à temperatura 298\\ \mathrm{K}.
Informações/dados que vamos usar:
  • Temperatura: T=298\\ \mathrm{K}.
  • Massas molares (valores tomados da tabela periódica / massas atômicas):
    • \mathrm{He}: M_{\mathrm{He}}=4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}.
    • \mathrm{CH_4}: M_{\mathrm{CH_4}}=16{,}042\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constantes físicas que usaremos:
    • Constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
    • (Opcionalmente a constante de Boltzmann k_B e N_A, mas aqui usaremos R com massas molares.)

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê.
A velocidade média (média aritmética das velocidades escalares) para partículas em equilíbrio térmico segundo Maxwell–Boltzmann é dada por
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 k_B T}{\pi m}},
onde:
  • \bar{v} é a velocidade média (m/s),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura (K),
  • m é a massa da partícula individual (kg).
Como normalmente trabalhamos com massas molares M (kg/mol) em vez da massa por partícula m, usamos m = M/N_A e obtemos a forma prática
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}},
onde:
  • R=N_A k_B é a constante dos gases e
  • M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
Observação didática rápida: existe também a velocidade quadrática média (rms)
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3 k_B T}{m}},
mas o enunciado pediu a velocidade média \bar{v}, então usamos a fórmula acima.

Passo 3

Converter massas molares para \mathrm{kg/mol} (porque R está em \mathrm{J/(mol\cdot K)}):
M_{\mathrm{He}} = 4{,}0026\\ \mathrm{g/mol} = 4{,}0026\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
M_{\mathrm{CH_4}} = 16{,}042\\ \mathrm{g/mol} = 16{,}042\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 4

Cálculo para o hélio \mathrm{He}.
Usamos
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}}.
Primeiro calculemos o numerador 8 R T:
8 R T = 8 \cdot 8{,}314462618 \cdot 298 \approx 19\,821{,}68\\ \mathrm{J/mol}.
Dividindo por \pi:
\dfrac{8 R T}{\pi} \approx \dfrac{19\,821{,}68}{3{,}141592654} \approx 6\,310{,}75.
Agora dividir pelo M_{\mathrm{He}}:
\dfrac{8 R T}{\pi M_{\mathrm{He}}} \approx \dfrac{6\,310{,}75}{4{,}0026\times10^{-3}} \approx 1{,}57666\times10^{6}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Tomando a raiz quadrada:
\bar{v}_{\mathrm{He}} \approx \sqrt{1{,}57666\times10^{6}} \approx 1{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo para o metano \mathrm{CH_4}.
Reutilizando \dfrac{8 R T}{\pi}\approx 6\,310{,}75:
\dfrac{8 R T}{\pi M_{\mathrm{CH_4}}} \approx \dfrac{6\,310{,}75}{16{,}042\times10^{-3}} \approx 3{,}93381\times10^{5}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Tomando a raiz quadrada:
\bar{v}_{\mathrm{CH_4}} \approx \sqrt{3{,}93381\times10^{5}} \approx 6,27\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e dica para a prova.
  • Resultado intuitivo: partículas mais leves movem-se, em média, mais rápido à mesma temperatura. Aqui \mathrm{He} (massa ~4 u) é cerca de 2 vezes mais rápido que \mathrm{CH_4} (massa ~16 u), porque a razão das velocidades médias escala como \sqrt{1/m}.
  • Na hora da prova: memorize a fórmula \bar{v}=\sqrt{8k_BT/(\pi m)} ou a forma com R e M, e converta sempre massas para \mathrm{kg/mol} quando usar R.

Resposta

\bar{v}_{\mathrm{He}} \approx 1{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\n
\bar{v}_{\mathrm{CH_4}} \approx 6{,}27\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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