1. A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He e das moléculas de \mathrm{CH}_{4} na temperatura (i) 77 K.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade média dos átomos de hélio ( \mathrm{He}) e das moléculas de metano ( \mathrm{CH}_{4}) à temperatura \,T=77\\ \mathrm{K}.\n
Informações fornecidas e que vamos usar:
  • Temperatura: \,T=77\\ \mathrm{K}.
  • Espécies: átomos de \mathrm{He} (massa molar aproximada \,M_{\mathrm{He}}\approx 4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}) e moléculas de \mathrm{CH}_{4} (massa molar aproximada \,M_{\mathrm{CH_4}}\approx 16{,}04\\ \mathrm{g/mol}).
  • Constantes físicas que usarei (valores padrão):
    • Constante de Boltzmann: \,k=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
    • Número de Avogadro: \,N_A=6{,}02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (importante): o enunciado diz “velocidade média”, mas em cinética dos gases há duas definições comuns que podem ser interpretadas assim:
  • velocidade média do módulo da velocidade (média aritmética das velocidades): \,\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}};
  • velocidade quadrática média (root-mean-square, frequentemente chamada de velocidade característica): \,v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}.
Quando se discute se moléculas “escapam” do planeta normalmente usa-se a velocidade típica dada pela energia cinética média por partícula, ligada ao teorema da equipartição, que leva diretamente a \,v_{\mathrm{rms}}. Por isso vou calcular \,v_{\mathrm{rms}}. Vou também explicar a diferença e como obter a massa por partícula a partir da massa molar para que você saiba aplicar na prova.

Passo 3

Derivação curta da fórmula usada e definição das variáveis:
Pelo teorema da equipartição de energia, a energia cinética translacional média de uma partícula é
\left\langle \frac{1}{2} m v^{2} \right\rangle = \frac{3}{2} kT,
onde m é a massa de uma partícula (em kg), k é a constante de Boltzmann e T a temperatura em kelvin. Definindo v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}, isolamos:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Para obter m (massa de uma única partícula) a partir da massa molar M (em \mathrm{kg/mol}) usa-se
m=\frac{M}{N_A}.
Observação: ao usar M em \mathrm{g/mol} converta para \mathrm{kg/mol} multiplicando por 10^{-3}.

Passo 4

Calcular a massa por partícula de \mathrm{He} e \mathrm{CH_4}.
Para \mathrm{He}:
M_{\mathrm{He}}=4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}=4{,}0026\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
m_{\mathrm{He}}=\frac{M_{\mathrm{He}}}{N_A} =\frac{4{,}0026\times10^{-3}}{6{,}02214076\times10^{23}} \approx 6{,}6465\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Para \mathrm{CH_4}:
M_{\mathrm{CH_4}}=16{,}04\\ \mathrm{g/mol}=16{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
m_{\mathrm{CH_4}}=\frac{M_{\mathrm{CH_4}}}{N_A} =\frac{16{,}04\times10^{-3}}{6{,}02214076\times10^{23}} \approx 2{,}664\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo de v_{\mathrm{rms}} para \mathrm{He}.
Usando \,v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}} com \,T=77\\ \mathrm{K}, k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e m_{\mathrm{He}}=6{,}6465\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
3kT = 3\cdot(1{,}380649\times10^{-23})\cdot 77 \approx 3{,}1893\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
\frac{3kT}{m_{\mathrm{He}}} \approx \frac{3{,}1893\times10^{-21}}{6{,}6465\times10^{-27}} \approx 4{,}796\times10^{5}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
v_{\mathrm{rms,He}} \approx \sqrt{4{,}796\times10^{5}}\\ \mathrm{m/s} \approx 6{,}93\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}=693\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo de v_{\mathrm{rms}} para \mathrm{CH_4}.
Usando m_{\mathrm{CH_4}}=2{,}664\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}:
\frac{3kT}{m_{\mathrm{CH_4}}} \approx \frac{3{,}1893\times10^{-21}}{2{,}664\times10^{-26}} \approx 1{,}1976\times10^{5}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
v_{\mathrm{rms,CH_4}} \approx \sqrt{1{,}1976\times10^{5}}\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}46\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}=346\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Comentário didático final e alternativa (para prova): se por acaso o professor pedir explicitamente a “velocidade média” como média aritmética do módulo da velocidade, use
\overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},
que é cerca de 0{,}921\,v_{\mathrm{rms}}. Assim, os valores médios (alternativos) seriam aproximadamente 638\\ \mathrm{m/s} para \mathrm{He} e 318\\ \mathrm{m/s} para \mathrm{CH_4}. Mas como discussão de escape atmosférico costuma usar v_{\mathrm{rms}}, os valores principais que calculei e que você verá na prova provavelmente são os de v_{\mathrm{rms}}.

Resposta

\mathrm{He}:\\\ 6{,}93\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{CH_{4}}:\\\ 3{,}46\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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