Um compósito deve ser reforçado com fibras contínuas e orientadas, os módulos de elasticidade nas direções longitudinal e transversal são de 33,1 e 3,66 \mathrm{GPa}, respectivamente. Se a fração volumétrica das fibras é de 0,30 , determine os módulos de elasticidade das fases fibra (Ef ) e matriz (Em ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Módulo de elasticidade longitudinal do compósito: E_L = 33{,}1\\ \mathrm{GPa}.
    • Módulo de elasticidade transversal do compósito: E_T = 3{,}66\\ \mathrm{GPa}.
    • Fração volumétrica de fibras: V_f = 0{,}30.
    • Fração volumétrica da matriz: V_m = 1 - V_f = 0{,}70.
  • O que é pedido:
    • Determinar o módulo de elasticidade da fibra E_f.
    • Determinar o módulo de elasticidade da matriz E_m.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadinho, sem pressa).
  • Para carga aplicada ao longo das fibras (direção longitudinal) o compósito fica em condição de mesma deformação nas fases fibra e matriz (iso-deformação). Nessa situação a regra das misturas simples vale:
E_L = V_f E_f + V_m E_m.
Aqui:
  • E_L é o módulo longitudinal do compósito (dado),
  • V_f e V_m são as frações volumétricas de fibra e matriz,
  • E_f e E_m são os módulos desconhecidos que queremos achar.
  • Para carga aplicada na direção transversal (perpendicular às fibras), a situação idealizada mais usada assume continuidade de tensão e resulta na regra inversa das misturas:
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Aqui:
  • E_T é o módulo transversal do compósito (dado).
    Essa fórmula é análoga a resistores em série: materiais em paralelo de deformação diferente, e é a expressão clássica para compósitos unidirecionais em carregamento transversal.
Observação amiga: essas expressões são aproximações clássicas — muito usadas em provas — e é por isso que as aplicamos aqui.

Passo 3

Escrevendo as duas equações do problema usando os símbolos já definidos.
  • Equação longitudinal (regra das misturas):
E_L = V_f E_f + V_m E_m.
  • Equação transversal (regra inversa):
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Vamos usar essas duas equações para resolver as incógnitas E_f e E_m.

Passo 4

Isolar E_m a partir da equação longitudinal para facilitar a substituição.
Da equação
E_L = V_f E_f + V_m E_m
isolamos E_m:
E_m = \frac{E_L - V_f E_f}{V_m}.
Esta expressão permite substituir E_m na equação transversal e obter uma equação só em E_f.

Passo 5

Substituir E_m na equação transversal e obter uma equação para E_f.
Partimos de
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Substituindo E_m = \dfrac{E_L - V_f E_f}{V_m} obtemos
\frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{\dfrac{E_L - V_f E_f}{V_m}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m^2}{E_L - V_f E_f}.
Agora multiplicamos ambos os lados por E_f\,(E_L - V_f E_f) para eliminar denominadores:
\frac{E_f\,(E_L - V_f E_f)}{E_T} = V_f\,(E_L - V_f E_f) + V_m^2 E_f.
Desenvolvendo e coletando termos em E_f^2, E_f e termo constante, obtemos a forma quadrática (organizada com coeficiente positivo para E_f^2):
V_f E_f^2 -\bigl(E_L + (V_f^2 - V_m^2)E_T\bigr)E_f + V_f E_L E_T = 0.
(Se preferir checar a álgebra: essa forma resulta de multiplicar por E_T e agrupar; é a mesma equação quadrática que se obtém fazendo os passos algébricos anteriores.)

Passo 6

Substituir os valores numéricos e resolver a quadrática.
Dados numéricos:
V_f = 0{,}30,\quad V_m = 0{,}70,\quad E_L = 33{,}1\\ \mathrm{GPa},\quad E_T = 3{,}66\\ \mathrm{GPa}.
Calcule V_f^2 - V_m^2:
V_f^2 - V_m^2 = 0{,}30^2 - 0{,}70^2 = 0{,}09 - 0{,}49 = -0{,}40.
Assim o coeficiente do termo linear fica:
E_L + (V_f^2 - V_m^2)E_T = 33{,}1 + (-0{,}40)\cdot 3{,}66 = 33{,}1 - 1{,}464 = 31{,}636.
A equação quadrática em E_f é
0{,}30\,E_f^2 - 31{,}636\,E_f + 0{,}30\cdot 33{,}1\cdot 3{,}66 = 0.
Calcule o termo constante:
0{,}30\cdot 33{,}1\cdot 3{,}66 = 0{,}30\cdot 121{,}146 = 36{,}3438.
Portanto a quadrática é
0{,}30\,E_f^2 - 31{,}636\,E_f + 36{,}3438 = 0.
Resolver pela fórmula de Bhaskara:
E_f = \frac{31{,}636 \pm \sqrt{31{,}636^2 - 4\cdot 0{,}30 \cdot 36{,}3438}}{2\cdot 0{,}30}.
Calcule o discriminante:
31{,}636^2 \approx 1000{,}8365,
4\cdot 0{,}30 \cdot 36{,}3438 \approx 43{,}6126,
\Delta \approx 1000{,}8365 - 43{,}6126 = 957{,}2239.
\sqrt{\Delta} \approx 30{,}939.
Logo as duas raízes são
E_{f1} = \frac{31{,}636 + 30{,}939}{0{,}6} \approx \frac{62{,}575}{0{,}6} \approx 104{,}29\\ \mathrm{GPa},
E_{f2} = \frac{31{,}636 - 30{,}939}{0{,}6} \approx \frac{0{,}697}{0{,}6} \approx 1{,}16\\ \mathrm{GPa}.

Passo 7

Escolher a raiz fisicamente correta e calcular E_m.
  • Interpretação física: a fibra é, em geral, mais rígida que o compósito longitudinal. Como E_L = 33{,}1\\ \mathrm{GPa}, a solução E_f \approx 1{,}16\\ \mathrm{GPa} seria mais fraca que o compósito — isso não faz sentido para uma fibra reforçante. Portanto a solução física é
E_f \approx 104{,}29\\ \mathrm{GPa}.
  • Agora calcular E_m usando E_m = \dfrac{E_L - V_f E_f}{V_m}:
E_m = \frac{33{,}1 - 0{,}30\cdot 104{,}29}{0{,}70} = \frac{33{,}1 - 31{,}287}{0{,}70} = \frac{1{,}813}{0{,}70} \approx 2{,}59\\ \mathrm{GPa}.
Arredondando com senso prático (duas casas decimais razoáveis para GPa), obtemos os valores finais.

Resposta

E_f \approx 104{,}29\\ \mathrm{GPa}
E_m \approx 2{,}59\\ \mathrm{GPa}

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