Um compósito deve ser reforçado com fibras contínuas e orientadas, os módulos de elasticidade nas direções longitudinal e transversal são de 33,1 e
, respectivamente. Se a fração volumétrica das fibras é de 0,30 , determine os módulos de elasticidade das fases fibra (Ef ) e matriz (Em ).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Módulo de elasticidade longitudinal do compósito:
. - Módulo de elasticidade transversal do compósito:
. - Fração volumétrica de fibras:
. - Fração volumétrica da matriz:
.
- Módulo de elasticidade longitudinal do compósito:
-
O que é pedido:
- Determinar o módulo de elasticidade da fibra
. - Determinar o módulo de elasticidade da matriz
.
- Determinar o módulo de elasticidade da fibra
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadinho, sem pressa).
- Para carga aplicada ao longo das fibras (direção longitudinal) o compósito fica em condição de mesma deformação nas fases fibra e matriz (iso-deformação). Nessa situação a regra das misturas simples vale:
Aqui:
-
é o módulo longitudinal do compósito (dado), -
e são as frações volumétricas de fibra e matriz, -
e são os módulos desconhecidos que queremos achar. -
Para carga aplicada na direção transversal (perpendicular às fibras), a situação idealizada mais usada assume continuidade de tensão e resulta na regra inversa das misturas:
Aqui:
-
é o módulo transversal do compósito (dado).
Essa fórmula é análoga a resistores em série: materiais em paralelo de deformação diferente, e é a expressão clássica para compósitos unidirecionais em carregamento transversal.
Observação amiga: essas expressões são aproximações clássicas — muito usadas em provas — e é por isso que as aplicamos aqui.
Passo 3
Escrevendo as duas equações do problema usando os símbolos já definidos.
- Equação longitudinal (regra das misturas):
- Equação transversal (regra inversa):
Vamos usar essas duas equações para resolver as incógnitas
e
.
Passo 4
Isolar
a partir da equação longitudinal para facilitar a substituição.
Da equação
isolamos
:
Esta expressão permite substituir
na equação transversal e obter uma equação só em
.
Passo 5
Substituir
na equação transversal e obter uma equação para
.
Partimos de
Substituindo
obtemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Desenvolvendo e coletando termos em
,
e termo constante, obtemos a forma quadrática (organizada com coeficiente positivo para
):
(Se preferir checar a álgebra: essa forma resulta de multiplicar por
e agrupar; é a mesma equação quadrática que se obtém fazendo os passos algébricos anteriores.)
Passo 6
Substituir os valores numéricos e resolver a quadrática.
Dados numéricos:
Calcule
:
Assim o coeficiente do termo linear fica:
A equação quadrática em
é
Calcule o termo constante:
Portanto a quadrática é
Resolver pela fórmula de Bhaskara:
Calcule o discriminante:
Logo as duas raízes são
Passo 7
Escolher a raiz fisicamente correta e calcular
.
- Interpretação física: a fibra é, em geral, mais rígida que o compósito longitudinal. Como
, a solução seria mais fraca que o compósito — isso não faz sentido para uma fibra reforçante. Portanto a solução física é
- Agora calcular
usando :
Arredondando com senso prático (duas casas decimais razoáveis para GPa), obtemos os valores finais.