Um compósito reforçado com fibras contínuas e alinhadas que possui uma área de seção transversal de
está sujeito a uma carga interna de tração. Se as tensões suportadas pelas fases fibras e matriz são de 215 MPa e
, respectivamente, a força suportada pela fase fibra é de 76800 N e a deformação longitudinal total do compósito é de
, determine: (a) a força suportada pela fase matriz; (b) o módulo de elasticidade do material compósito na direção longitudinal, e (c) os módulos de Elasticidade das fases fibras e matriz.
Considere um compósito de matriz polimérica (resina poliéster; fração volumétrica da matriz 60%; módulo de elasticidade da matriz
), reforçado com fibras longas, contínuas e alinhadas (fibras de vidro; fração volumétrica das fibras
; módulo de elasticidade das fibras
). (a) Determine o módulo de elasticidade do compósito quando submetido a um esforço longitudinal (ou seja, alinhado às fibras). (b) Determine o módulo de elasticidade do compósito quando submetido a um esforço transversal (ou seja, perpendicular ao sentido das fibras). (c) Se a área de seção transversal do compósito é igual a 250 mm 2 e uma tensão de 50 MPa for aplicada ao compósito na direção longitudinal, calcule qual será a carga aplicada em cada uma das fases - na fase fibra (Ff) e na fase matriz (Fm). (d) Nas condições indicadas no item (c), calcule qual é a tensão aplicada em cada uma das fases - na fase fibra (
f) e na fase matriz (
).
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Há dois conjuntos de perguntas (vou separá-los mentalmente).
Primeiro caso (dados fornecidos):
- Área total do compósito:
- Tensão suportada pelas fibras:
- Tensão suportada pela matriz:
- Força suportada pela fase fibra:
(foi informada) - Deformação longitudinal total do compósito:
Perguntas do primeiro caso:
(a) Força suportada pela fase matriz .
(b) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal .
(c) Módulos de elasticidade das fases fibras e matriz ( e
).
(a) Força suportada pela fase matriz
(b) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal
(c) Módulos de elasticidade das fases fibras e matriz (
Segundo caso (dados do compósito fibra+matriz):
- Matriz (resina poliéster): fração volumétrica
, módulo - Fibras (vidro): fração volumétrica
, módulo
Perguntas do segundo caso:
(a) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal.
(b) Módulo de elasticidade do compósito na direção transversal.
(c) See a tensão aplicada no compósito na direção longitudinal é , calcule as cargas nas fases: e .
(d) Nas condições do item (c), calcule as tensões em cada fase:e .
Observações úteis (serão usadas): tensão em
equivale a
. Ao longo do carregamento longitudinal em fibras contínuas alinhadas as fases têm a mesma deformação longitudinal (hipótese de compatibilidade de deformação).
Passo 2
Primeiro caso — encontrar a área ocupada pelas fibras a partir de
e
.
Relação básica: força = tensão × área. Em fórmulas,
Logo a área das fibras é
Substituindo os valores (lembrando que
em MPa = N/mm
):
Calcule:
Passo 3
Ainda primeiro caso — calcular a área da matriz e a força na matriz
.
Área da matriz:
Força na matriz usando
:
Interpretação curta: a matriz, sendo de tensão pequena, carrega uma força pequena porque sua tensão é pequena mesmo ocupando área maior.
Passo 4
Primeiro caso — módulo do compósito na direção longitudinal
.
Estratégia: obter a tensão média no compósito (tensão equivalente) a partir da força total e dividir pela deformação, usando Lei de Hooke equivalente:
com
.
Calcule
:
Tensão média do compósito:
Módulo do compósito:
Convertendo para GPa:
Explicação conceitual: como as fases estão deformando de maneira compatível (mesma
), a tensão total é média ponderada das forças e o módulo equivalente pode ser obtido por
.
Passo 5
Primeiro caso — módulos de elasticidade das fases
e
.
Sob deformação uniaxial e linear elástica, cada fase obedece a Lei de Hooke local:
Para as fibras:
Para a matriz (aqui estamos “recalculando” o
a partir da tensão conhecida e da mesma deformação):
Observação: o valor encontrado para
(~3,45 GPa) é consistente com um polímero rígido (próximo dos
do segundo exercício).
Passo 6
Agora o segundo caso — dados e conceitos a usar.
Dados:
Conceitos (explicados de forma intuitiva):
- Carregamento longitudinal (paralelo às fibras): as fibras e a matriz deformam igualmente na direção longitudinal (
). A tensão na cada fase é . A tensão média do compósito é a soma das tensões ponderadas pelas frações de área (ou volume, para fibras contínuas alinhadas). Assim obtemos a regra das misturas direta:
- Carregamento transversal (perpendicular às fibras): as fases carregam a mesma tensão (hipótese de isostress) e a deformação média é a média ponderada das deformações. Isso leva à regra inversa:
Essas duas fórmulas são fórmulas-padrão para compósitos unidirecionais em regimes elásticos lineares.
Passo 7
Segundo caso (a) — cálculo do módulo longitudinal
.
Aplicando a regra das misturas:
Passo 8
Segundo caso (b) — cálculo do módulo transversal
.
Aplicando a regra inversa:
Calcule os termos (em GPa^{-1}):
Somando:
Inverso:
Passo 9
Segundo caso (c) — encontrar as cargas nas fases quando
e
, carregamento longitudinal.
Raciocínio: em carregamento longitudinal as fases têm mesma deformação
. Primeiro obtenha
pelo módulo longitudinal do compósito
:
Converter
para MPa:
Deformação do compósito:
Áreas das fases (assumindo fração volumétrica
fração de área na seção transversal para fibras contínuas alinhadas):
Tensões nas fases (Hooke local):
Converter
para MPa:
.
Para a matriz (
):
Agora as forças:
Verificação rápida:
. Tensão média
, próxima de
(diferença por arredondamento).
Passo 10
Segundo caso (d) — listar as tensões em cada fase (já calculadas no passo anterior), reafirmando os valores com unidades:
Essas são as tensões internas que aparecem nas fases quando o compósito sofre
na direção longitudinal; observe que as fibras suportam bem mais tensão porque seu módulo é muito maior.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
Segundo caso:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)