Um compósito reforçado com fibras contínuas e alinhadas que possui uma área de seção transversal de 970 \mathrm{~mm}^{2} está sujeito a uma carga interna de tração. Se as tensões suportadas pelas fases fibras e matriz são de 215 MPa e 5,38 \mathrm{MPa}, respectivamente, a força suportada pela fase fibra é de 76800 N e a deformação longitudinal total do compósito é de 1,56 \times 10^{-3}, determine: (a) a força suportada pela fase matriz; (b) o módulo de elasticidade do material compósito na direção longitudinal, e (c) os módulos de Elasticidade das fases fibras e matriz.
Considere um compósito de matriz polimérica (resina poliéster; fração volumétrica da matriz 60%; módulo de elasticidade da matriz \mathrm{Em}=3,4 \mathrm{GPa} ), reforçado com fibras longas, contínuas e alinhadas (fibras de vidro; fração volumétrica das fibras =40 \%; módulo de elasticidade das fibras \mathrm{Ef}=69 \mathrm{GPa} ). (a) Determine o módulo de elasticidade do compósito quando submetido a um esforço longitudinal (ou seja, alinhado às fibras). (b) Determine o módulo de elasticidade do compósito quando submetido a um esforço transversal (ou seja, perpendicular ao sentido das fibras). (c) Se a área de seção transversal do compósito é igual a 250 mm 2 e uma tensão de 50 MPa for aplicada ao compósito na direção longitudinal, calcule qual será a carga aplicada em cada uma das fases - na fase fibra (Ff) e na fase matriz (Fm). (d) Nas condições indicadas no item (c), calcule qual é a tensão aplicada em cada uma das fases - na fase fibra ( \sigma f) e na fase matriz ( \sigma m ).

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede. Há dois conjuntos de perguntas (vou separá-los mentalmente).
Primeiro caso (dados fornecidos):
  • Área total do compósito: \,A_{\text{total}}=970\\ \mathrm{mm}^2.
  • Tensão suportada pelas fibras: \,\sigma_f=215\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão suportada pela matriz: \,\sigma_m=5{,}38\\ \mathrm{MPa}.
  • Força suportada pela fase fibra: \,F_f=76800\\ \mathrm{N}. (foi informada)
  • Deformação longitudinal total do compósito: \,\varepsilon=1{,}56\times 10^{-3}.
Perguntas do primeiro caso:
(a) Força suportada pela fase matriz F_m.
(b) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal E_c.
(c) Módulos de elasticidade das fases fibras e matriz ( E_f e E_m).
Segundo caso (dados do compósito fibra+matriz):
  • Matriz (resina poliéster): fração volumétrica \,V_m=0{,}60, módulo \,E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}.
  • Fibras (vidro): fração volumétrica \,V_f=0{,}40, módulo \,E_f=69\\ \mathrm{GPa}.
    Perguntas do segundo caso:
    (a) Módulo de elasticidade do compósito na direção longitudinal E_L.
    (b) Módulo de elasticidade do compósito na direção transversal E_T.
    (c) Se A_{\text{total}}=250\\ \mathrm{mm}^2 e a tensão aplicada no compósito na direção longitudinal é \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa}, calcule as cargas nas fases: F_f e F_m.
    (d) Nas condições do item (c), calcule as tensões em cada fase: \sigma_f e \sigma_m.
Observações úteis (serão usadas): tensão em \mathrm{MPa} equivale a \mathrm{N/mm}^2. Ao longo do carregamento longitudinal em fibras contínuas alinhadas as fases têm a mesma deformação longitudinal (hipótese de compatibilidade de deformação).

Passo 2

Primeiro caso — encontrar a área ocupada pelas fibras a partir de F_f e \sigma_f.
Relação básica: força = tensão × área. Em fórmulas,
F_f=\sigma_f A_f.
Logo a área das fibras é
A_f=\dfrac{F_f}{\sigma_f}.
Substituindo os valores (lembrando que \sigma_f em MPa = N/mm ^2):
A_f=\dfrac{76800}{215}\\ \mathrm{mm}^2.
Calcule:
A_f \approx 357{,}2093023\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Ainda primeiro caso — calcular a área da matriz e a força na matriz F_m.
Área da matriz:
A_m = A_{\text{total}}-A_f = 970 - 357{,}2093023\\ \mathrm{mm}^2.
A_m \approx 612{,}7906977\\ \mathrm{mm}^2.
Força na matriz usando F_m=\sigma_m A_m:
F_m = 5{,}38\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 612{,}7906977\\ \mathrm{mm}^2.
F_m \approx 3297{,}6883721\\ \mathrm{N}.
Interpretação curta: a matriz, sendo de tensão pequena, carrega uma força pequena porque sua tensão é pequena mesmo ocupando área maior.

Passo 4

Primeiro caso — módulo do compósito na direção longitudinal E_c.
Estratégia: obter a tensão média no compósito (tensão equivalente) a partir da força total e dividir pela deformação, usando Lei de Hooke equivalente:
E_c = \dfrac{\sigma_{\text{comp}}}{\varepsilon}, \qquad \sigma_{\text{comp}}=\dfrac{F_{\text{total}}}{A_{\text{total}}}
com F_{\text{total}}=F_f+F_m.
Calcule F_{\text{total}}:
F_{\text{total}}=76800 + 3297{,}6883721 \approx 80097{,}6883721\\ \mathrm{N}.
Tensão média do compósito:
\sigma_{\text{comp}}=\dfrac{80097{,}6883721}{970}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 82{,}59864575\\ \mathrm{MPa}.
Módulo do compósito:
E_c=\dfrac{82{,}59864575}{1{,}56\times 10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 52935{,}1986004\\ \mathrm{MPa}.
Convertendo para GPa:
E_c \approx 52{,}935\\ \mathrm{GPa}.
Explicação conceitual: como as fases estão deformando de maneira compatível (mesma \varepsilon), a tensão total é média ponderada das forças e o módulo equivalente pode ser obtido por \sigma_{\text{comp}}/\varepsilon.

Passo 5

Primeiro caso — módulos de elasticidade das fases E_f e E_m.
Sob deformação uniaxial e linear elástica, cada fase obedece a Lei de Hooke local:
\sigma = E\,\varepsilon \quad\Rightarrow\quad E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}.
Para as fibras:
E_f=\dfrac{\sigma_f}{\varepsilon}=\dfrac{215}{1{,}56\times10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 137820{,}5128205\\ \mathrm{MPa}\approx 137{,}821\\ \mathrm{GPa}.
Para a matriz (aqui estamos “recalculando” o E_m a partir da tensão conhecida e da mesma deformação):
E_m=\dfrac{\sigma_m}{\varepsilon}=\dfrac{5{,}38}{1{,}56\times10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 3448{,}7179487\\ \mathrm{MPa}\approx 3{,}449\\ \mathrm{GPa}.
Observação: o valor encontrado para E_m (~3,45 GPa) é consistente com um polímero rígido (próximo dos 3{,}4\\ \mathrm{GPa} do segundo exercício).

Passo 6

Agora o segundo caso — dados e conceitos a usar.
Dados:
V_f=0{,}40,\quad V_m=0{,}60,\quad E_f=69\\ \mathrm{GPa},\quad E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}.
Conceitos (explicados de forma intuitiva):
  • Carregamento longitudinal (paralelo às fibras): as fibras e a matriz deformam igualmente na direção longitudinal ( \varepsilon_f=\varepsilon_m=\varepsilon). A tensão na cada fase é \sigma_i=E_i\varepsilon. A tensão média do compósito é a soma das tensões ponderadas pelas frações de área (ou volume, para fibras contínuas alinhadas). Assim obtemos a regra das misturas direta:
E_L = V_f E_f + V_m E_m.
  • Carregamento transversal (perpendicular às fibras): as fases carregam a mesma tensão (hipótese de isostress) e a deformação média é a média ponderada das deformações. Isso leva à regra inversa:
\dfrac{1}{E_T} = \dfrac{V_f}{E_f} + \dfrac{V_m}{E_m}.
Essas duas fórmulas são fórmulas-padrão para compósitos unidirecionais em regimes elásticos lineares.

Passo 7

Segundo caso (a) — cálculo do módulo longitudinal E_L.
Aplicando a regra das misturas:
E_L = V_f E_f + V_m E_m = 0{,}40\cdot 69 + 0{,}60\cdot 3{,}4\\ \mathrm{GPa}.
E_L = 27{,}6 + 2{,}04 = 29{,}64\\ \mathrm{GPa}.

Passo 8

Segundo caso (b) — cálculo do módulo transversal E_T.
Aplicando a regra inversa:
\dfrac{1}{E_T}=\dfrac{V_f}{E_f}+\dfrac{V_m}{E_m} = \dfrac{0{,}40}{69} + \dfrac{0{,}60}{3{,}4}\\ \mathrm{GPa}^{-1}.
Calcule os termos (em GPa^{-1}):
\dfrac{0{,}40}{69}\approx 0{,}00579710145,\qquad \dfrac{0{,}60}{3{,}4}\approx 0{,}17647058824.
Somando:
\dfrac{1}{E_T}\approx 0{,}18226768969\\ \mathrm{GPa}^{-1}.
Inverso:
E_T \approx \dfrac{1}{0{,}18226768969}\\ \mathrm{GPa}\approx 5{,}48527\\ \mathrm{GPa}.

Passo 9

Segundo caso (c) — encontrar as cargas nas fases quando \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa} e A_{\text{total}}=250\\ \mathrm{mm}^2, carregamento longitudinal.
Raciocínio: em carregamento longitudinal as fases têm mesma deformação \varepsilon. Primeiro obtenha \varepsilon pelo módulo longitudinal do compósito E_L:
Converter E_L para MPa: E_L=29{,}64\\ \mathrm{GPa}=29640\\ \mathrm{MPa}.
Deformação do compósito:
\varepsilon=\dfrac{\sigma_c}{E_L}=\dfrac{50}{29640}\approx 1{,}686338582\times 10^{-3}.
Áreas das fases (assumindo fração volumétrica \approx fração de área na seção transversal para fibras contínuas alinhadas):
A_f = V_f A_{\text{total}} = 0{,}40\cdot 250 = 100\\ \mathrm{mm}^2,
A_m = 250 - 100 = 150\\ \mathrm{mm}^2.
Tensões nas fases (Hooke local):
\sigma_f = E_f\varepsilon = 69\\ \mathrm{GPa}\times 1{,}686338582\times 10^{-3}.
Converter E_f para MPa: 69\\ \mathrm{GPa}=69000\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_f = 69000\times 1{,}686338582\times 10^{-3}\approx 116{,}312\\ \mathrm{MPa}.
Para a matriz ( E_m=3{,}4\\ \mathrm{GPa}=3400\\ \mathrm{MPa}):
\sigma_m = 3400\times 1{,}686338582\times 10^{-3}\approx 5{,}733548\\ \mathrm{MPa}.
Agora as forças:
F_f = \sigma_f A_f \approx 116{,}312\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 100\\ \mathrm{mm}^2 \approx 11631{,}2\\ \mathrm{N}.
F_m = \sigma_m A_m \approx 5{,}733548\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 150\\ \mathrm{mm}^2 \approx 860{,}0322\\ \mathrm{N}.
Verificação rápida: F_f+F_m\approx 11631{,}2 + 860{,}03 \approx 12491{,}23\\ \mathrm{N}. Tensão média \dfrac{12491{,}23}{250}\approx 49{,}965\\ \mathrm{MPa}, próxima de 50\\ \mathrm{MPa} (diferença por arredondamento).

Passo 10

Segundo caso (d) — listar as tensões em cada fase (já calculadas no passo anterior), reafirmando os valores com unidades:
  • \sigma_f \approx 116{,}312\\ \mathrm{MPa}.
  • \sigma_m \approx 5{,}733548\\ \mathrm{MPa}.
Essas são as tensões internas que aparecem nas fases quando o compósito sofre \sigma_c=50\\ \mathrm{MPa} na direção longitudinal; observe que as fibras suportam bem mais tensão porque seu módulo é muito maior.

Resposta

(a) F_m \approx 3297{,}69\\ \mathrm{N}.
(b) E_c \approx 52{,}935\\ \mathrm{GPa}.
(c) E_f \approx 137{,}821\\ \mathrm{GPa},\quad E_m \approx 3{,}4487\\ \mathrm{GPa}.
Segundo caso:
(a) E_L = 29{,}64\\ \mathrm{GPa}.
(b) E_T \approx 5{,}48527\\ \mathrm{GPa}.
(c) F_f \approx 11631{,}2\\ \mathrm{N},\quad F_m \approx 860{,}03\\ \mathrm{N}.
(d) \sigma_f \approx 116{,}312\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_m \approx 5{,}73355\\ \mathrm{MPa}.

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