Exercício

Determine a relação entre o número de espiras e o comprimento de um solenoide, por onde flui uma corrente elétrica de 2,2 \mathrm{~A} que produz um campo magnético de 26,4 \times 10^{-4} \mathrm{~T}.
\begin{gathered} B=\frac{N \cdot \mu_{0} \cdot i}{L} \gg \frac{N}{L}=\frac{B}{\mu_{0} \cdot i} \\\ \frac{N}{L}=\frac{26,4 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \cdot 2,2}=\frac{26,4 \cdot 10^{-4}}{26,4 \cdot 10^{-7}} \\\ \frac{N}{L}=\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^{3} \text { espiras } / \mathrm{m} \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Corrente elétrica: i=2,2\\ \mathrm{A}.
    • Campo magnético no interior do solenoide: B=26,4\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
    • Constante do vácuo: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} (valor padrão).
  • Fórmula fornecida (campo de um solenoide longo, aproximadamente uniforme):
B=\frac{N\cdot\mu_{0}\cdot i}{L}.
  • O enunciado pede a relação entre o número de espiras e o comprimento, ou seja, deseja-se \dfrac{N}{L} (espiras por metro).

Passo 2

Isolar \dfrac{N}{L} na fórmula: a fórmula é uma equação linear em \dfrac{N}{L}. Faço a álgebra para obter \dfrac{N}{L}:
B=\frac{N\cdot\mu_{0}\cdot i}{L}\quad\Longrightarrow\quad \frac{N}{L}=\frac{B}{\mu_{0}\,i}.
Explicando: divide-se ambos os lados por \mu_{0}i; a variável procurada é \dfrac{N}{L}, que tem unidade de espiras por metro.

Passo 3

Preparar os valores para substituir. Coloco B e \mu_{0}i em notação científica conveniente:
B=26,4\times10^{-4}\\ \mathrm{T}=2,64\times10^{-3}\\ \mathrm{T},
\mu_{0}\,i=(4\pi\times10^{-7})\cdot(2,2)=8,8\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Portanto,
\frac{N}{L}=\frac{2,64\times10^{-3}}{8,8\pi\times10^{-7}}.

Passo 4

Simplificar a potência de dez e os coeficientes:
\frac{N}{L}=\frac{2,64}{8,8\pi}\times10^{4}.
Observar que \dfrac{2,64}{8,8}=0,3, então a expressão fica
\frac{N}{L}=\frac{0,3}{\pi}\times10^{4}=\frac{3000}{\pi}.
Isto é uma forma exata simples: \dfrac{N}{L}=\dfrac{3000}{\pi}\\ \text{espiras/m}.

Passo 5

Avaliar numericamente usando \pi\approx3,1416:
\frac{N}{L}\approx\frac{3000}{3,1416}\approx954{,}93\\ \text{espiras/m}.
Arredondando de modo razoável para duas ou três cifras significativas, pode-se escrever 955\\ \text{espiras/m} ou 9,55\times10^{2}\\ \text{espiras/m}.

Passo 6

Comentário prático para prova (rápido e útil): se alguém aproximar \pi\approx3 (aproximação grosseira), obtém 3000/3=1000\\ \text{espiras/m}, que é a resposta aproximada do enunciado original. Porém a avaliação mais precisa usando \pi\approx3,1416 \approx955\\ \text{espiras/m}, que é preferível se for pedida maior precisão.

Resposta

\dfrac{N}{L}\approx9,55\times10^{2}\\ \text{espiras/m}

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