Sabe-se que o ouro (Au) tem uma estrutura cristalina CFC, massa e raio atômico correspondentes a
e
, respectivamente.
Calcule:
(a) o parâmetro de rede da célula unitária;
(b) a densidade teórica do ouro;
(c) o fator de empacotamento da estrutura cristalina;
(d) a densidade atômica linear na direção [110];
(e) a densidade atômica planar no plano (100);
(a) o parâmetro de rede da célula unitária;
(b) a densidade teórica do ouro;
(c) o fator de empacotamento da estrutura cristalina;
(d) a densidade atômica linear na direção [110];
(e) a densidade atômica planar no plano (100);
Passo 1
O enunciado pede calcular cinco quantidades para o ouro (Au) sabendo que ele tem estrutura CFC e que:
- massa atômica:
; - raio atômico:
.
As perguntas são:
(a) o parâmetro de rede da cela unitária (ou seja, o comprimento da aresta );
(b) a densidade teórica do ouro (massa por volume);
(c) o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) da estrutura;
(d) a densidade atômica linear na direção (átomos por unidade de comprimento nessa direção);
(e) a densidade atômica planar no plano (átomos por unidade de área nesse plano).
(a) o parâmetro de rede da cela unitária (ou seja, o comprimento da aresta
(b) a densidade teórica do ouro (massa por volume);
(c) o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) da estrutura;
(d) a densidade atômica linear na direção
(e) a densidade atômica planar no plano
Informações relevantes fornecidas:
- Estrutura: CFC (face-centered cubic).
-
. -
(lembre: ).
Passo 2
Relação geométrica básica da CFC entre raio atômico
e parâmetro de rede
.
Explicação didática: na estrutura CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento
e ao longo dela cabem quatro raios (dois átomos completos encaixados): portanto
Desse modo isolamos
:
Agora aplicamos numérico usando
.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
Primeiro, calcular o fator:
Então
Para conveniência, podemos também expressar em metros:
Passo 4
Determinar o número de átomos por cela unitária para CFC (informação essencial para densidade).
Explicação didática: em CFC há
- 8 cantos com 1/8 de átomo em cada canto
átomo, - 6 centros de face com 1/2 de átomo em cada face
átomos.
Logo número total por cela:
Passo 5
Cálculo da densidade teórica: fórmula e explicação.
Fórmula geral:
Massa de um átomo:
onde
(constante de Avogadro). Massa na cela:
Volume da cela:
Portanto
Vamos calcular numérico em unidades usuais
(mais comum para metais). Para isso converter
para cm:
.
Passo 6
Cálculos numéricos para a densidade.
Converter
:
Volume da cela:
(Multiplicações passo a passo:
e
, então
.)
Massa de um átomo:
Massa na cela:
Finalmente a densidade:
Comentário: esse valor está coerente com o valor experimental conhecido para o ouro (~
), então estamos bons.
Passo 7
Cálculo do fator de empacotamento atômico (APF).
Definição didática: o APF é a fração do volume da cela unitária ocupada por esferas atômicas (considerando os átomos como esferas rígidas). Fórmula:
Volume de uma esfera de raio
:
. Em CFC há 4 átomos por cela, então volume ocupado:
O volume da cela é
. Usando
podemos eliminar
e obter a APF puramente geométrica:
Passo 8
Valor numérico do APF.
Calcule:
Portanto
Passo 9
Densidade atômica linear na direção
: conceito e método.
Definição didática: a densidade linear
em uma direção cristalográfica é o número de centros atômicos cujas posições pertencem a uma linha nessa direção, dividido pelo comprimento da linha considerada (normalmente o comprimento do vetor de repetição mínimo nessa direção).
Para CFC, ao longo da direção
(diagonal da face) os centros atômicos estão separados pela distância de contato
. Também já sabemos que
(porque
). Logo uma forma simples é:
Explicação:
dá o número de átomos por unidade de comprimento porque entre centros consecutivos ao longo da linha a separação é
.
Passo 10
Cálculo numérico da densidade linear.
Usando
:
Para uma unidade mais prática: por nanômetro
Ou por ångström:
Passo 11
Densidade atômica planar no plano
: conceito e método.
Definição didática: densidade planar
no plano
é o número de centros atômicos cujas posições pertencem ao plano por unidade de área do reticulado do plano. Para o plano
(um dos planos das faces do cubo), o reticulado planar elementar tem área
(é justamente a área da face do cubo).
Agora contar quantos átomos têm seus centros neste plano por célula de área
:
- 4 cantos da face: cada canto tem 1/4 do átomo pertencente à face (porque cada átomo de canto é compartilhado por 4 faces adjacentes no mesmo plano) → contribuição total
; - 1 átomo no centro da face (face-centered) que fica inteiramente no plano → contribuição
.
Total por uma face de área:
Logo
Passo 12
Cálculo numérico da densidade planar.
Calcular
em
:
Portanto
Para uma unidade mais intuitiva: por
(onde
):
Resposta
(a)
(
)
(b)
(c)
(d) (
)
(e) (
)
(b)
(c)
(d)
(e)