Sabe-se que o ouro (Au) tem uma estrutura cristalina CFC, massa e raio atômico correspondentes a 197,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e 1,44 \AA, respectivamente.
Calcule:
(a) o parâmetro de rede da célula unitária;
(b) a densidade teórica do ouro;
(c) o fator de empacotamento da estrutura cristalina;
(d) a densidade atômica linear na direção [110];
(e) a densidade atômica planar no plano (100);

Passo 1

O enunciado pede calcular cinco quantidades para o ouro (Au) sabendo que ele tem estrutura CFC e que:
  • massa atômica: M = 197{,}0\\ \mathrm{g/mol};
  • raio atômico: r = 1{,}44\\ \text{\AA}.
As perguntas são:
(a) o parâmetro de rede da cela unitária (ou seja, o comprimento da aresta a);
(b) a densidade teórica do ouro (massa por volume);
(c) o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) da estrutura;
(d) a densidade atômica linear na direção [110] (átomos por unidade de comprimento nessa direção);
(e) a densidade atômica planar no plano (100) (átomos por unidade de área nesse plano).
Informações relevantes fornecidas:
  • Estrutura: CFC (face-centered cubic).
  • M = 197{,}0\\ \mathrm{g/mol}.
  • r = 1{,}44\\ \text{\AA} (lembre: 1\\ \text{\AA} = 10^{-10}\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Relação geométrica básica da CFC entre raio atômico r e parâmetro de rede a.
Explicação didática: na estrutura CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2} e ao longo dela cabem quatro raios (dois átomos completos encaixados): portanto
a\sqrt{2} = 4r.
Desse modo isolamos a:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
Agora aplicamos numérico usando r = 1{,}44\\ \text{\AA}.

Passo 3

Cálculo numérico de a.
Primeiro, calcular o fator:
2\sqrt{2} \approx 2\times1{,}41421356 = 2{,}82842712.
Então
a = 2\sqrt{2}\,r = 2{,}82842712\times1{,}44\\ \text{\AA} \approx 4{,}07293\\ \text{\AA}.
Para conveniência, podemos também expressar em metros:
a \approx 4{,}07293\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o número de átomos por cela unitária para CFC (informação essencial para densidade).
Explicação didática: em CFC há
  • 8 cantos com 1/8 de átomo em cada canto \Rightarrow 8\times\frac{1}{8}=1 átomo,
  • 6 centros de face com 1/2 de átomo em cada face \Rightarrow 6\times\frac{1}{2}=3 átomos.
    Logo número total por cela:
N_{\text{cel}} = 1+3 = 4\\ \text{átomos por cela unitária}.áá

Passo 5

Cálculo da densidade teórica: fórmula e explicação.
Fórmula geral:
\rho = \frac{\text{massa na cela unitária}}{\text{volume da cela}}.á
Massa de um átomo:
m_{\text{átomo}} = \frac{M}{N_A},á
onde N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (constante de Avogadro). Massa na cela:
m_{\text{cela}} = N_{\text{cel}}\; m_{\text{átomo}} = 4\cdot\frac{M}{N_A}.á
Volume da cela:
V_{\text{cela}} = a^3.
Portanto
\rho = \frac{4M/N_A}{a^3}.
Vamos calcular numérico em unidades usuais \mathrm{g/cm^3} (mais comum para metais). Para isso converter a para cm: 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Cálculos numéricos para a densidade.
Converter a:
a = 4{,}07293\\ \text{\AA} = 4{,}07293\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela:
a^3 = (4{,}07293\times10^{-8})^3\\ \mathrm{cm^3} \approx 6{,}769\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
(Multiplicações passo a passo: 4{,}07293^3\approx67{,}69 e (10^{-8})^3=10^{-24}, então 67{,}69\times10^{-24}=6{,}769\times10^{-23}.)
Massa de um átomo:
m_{\text{átomo}} = \frac{197{,}0\\ \mathrm{g/mol}}{6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 3{,}271\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.á
Massa na cela:
m_{\text{cela}} = 4\cdot m_{\text{átomo}} \approx 4\cdot3{,}271\times10^{-22} = 1{,}3084\times10^{-21}\\ \mathrm{g}.á
Finalmente a densidade:
\rho = \frac{1{,}3084\times10^{-21}}{6{,}769\times10^{-23}}\\ \mathrm{g/cm^3} \approx 19{,}33\\ \mathrm{g/cm^3}.
Comentário: esse valor está coerente com o valor experimental conhecido para o ouro (~ 19{,}32\\ \mathrm{g/cm^3}), então estamos bons.

Passo 7

Cálculo do fator de empacotamento atômico (APF).
Definição didática: o APF é a fração do volume da cela unitária ocupada por esferas atômicas (considerando os átomos como esferas rígidas). Fórmula:
\text{APF} = \frac{\text{volume total das esferas na cela}}{\text{volume da cela}}.
Volume de uma esfera de raio r: \dfrac{4}{3}\pi r^3. Em CFC há 4 átomos por cela, então volume ocupado:
V_{\text{átomos}} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{16}{3}\pi r^3.á
O volume da cela é a^3. Usando a=2\sqrt{2}\,r podemos eliminar r e obter a APF puramente geométrica:
\text{APF} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^3}{(2\sqrt{2}\,r)^3} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}\, r^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.

Passo 8

Valor numérico do APF.
Calcule:
\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx \frac{3{,}14159265}{3\times1{,}41421356} = \frac{3{,}14159265}{4{,}24264069}\approx 0{,}74048.
Portanto
\text{APF} \approx 0{,}7405\quad(\text{o que significa }74{,}05\%\text{ do volume ocupado por átomos}).á

Passo 9

Densidade atômica linear na direção [110]: conceito e método.
Definição didática: a densidade linear \rho_L em uma direção cristalográfica é o número de centros atômicos cujas posições pertencem a uma linha nessa direção, dividido pelo comprimento da linha considerada (normalmente o comprimento do vetor de repetição mínimo nessa direção).
Para CFC, ao longo da direção [110] (diagonal da face) os centros atômicos estão separados pela distância de contato 2r. Também já sabemos que 2r = \dfrac{a}{\sqrt{2}} (porque a\sqrt{2}=4r). Logo uma forma simples é:
\rho_L([110]) = \frac{1}{2r} = \frac{\sqrt{2}}{a}.
Explicação: \dfrac{1}{2r} dá o número de átomos por unidade de comprimento porque entre centros consecutivos ao longo da linha a separação é 2r.

Passo 10

Cálculo numérico da densidade linear.
Usando a = 4{,}07293\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
\rho_L = \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{1{,}41421356}{4{,}07293\times10^{-10}}\\ \mathrm{m^{-1}} \approx 3{,}4729\times10^{9}\\ \mathrm{átomos\\ m^{-1}}.á
Para uma unidade mais prática: por nanômetro
\rho_L \approx 3{,}4729\times10^{9}\times10^{-9} = 3{,}4729\\ \mathrm{átomos\\ nm^{-1}}.á
Ou por ångström:
\rho_L \approx 0{,}34729\\ \mathrm{átomos\\ \text{\AA}^{-1}}.á

Passo 11

Densidade atômica planar no plano (100): conceito e método.
Definição didática: densidade planar \rho_P no plano (hkl) é o número de centros atômicos cujas posições pertencem ao plano por unidade de área do reticulado do plano. Para o plano (100) (um dos planos das faces do cubo), o reticulado planar elementar tem área a^2 (é justamente a área da face do cubo).
Agora contar quantos átomos têm seus centros neste plano por célula de área a^2:
  • 4 cantos da face: cada canto tem 1/4 do átomo pertencente à face (porque cada átomo de canto é compartilhado por 4 faces adjacentes no mesmo plano) → contribuição total 4\times\frac{1}{4}=1;
  • 1 átomo no centro da face (face-centered) que fica inteiramente no plano → contribuição 1.
    Total por uma face de área a^2:
N_{\text{no plano (100)}} = 1 + 1 = 2\\ \text{átomos por área }a^2.áá
Logo
\rho_P((100)) = \frac{2}{a^2}\\ (\text{átomos por unidade de área}).áá

Passo 12

Cálculo numérico da densidade planar.
Calcular a^2 em \mathrm{m^2}:
a^2 = (4{,}07293\times10^{-10})^2\\ \mathrm{m^2} \approx 1{,}6597\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
\rho_P = \frac{2}{1{,}6597\times10^{-19}}\\ \mathrm{átomos\\ m^{-2}} \approx 1{,}2047\times10^{19}\\ \mathrm{átomos\\ m^{-2}}.áá
Para uma unidade mais intuitiva: por \mathrm{nm^2} (onde 1\\ \mathrm{nm^2}=10^{-18}\\ \mathrm{m^2}):
\rho_P \approx 1{,}2047\times10^{19}\times10^{-18} \approx 12{,}047\\ \mathrm{átomos\\ nm^{-2}}.á

Resposta

(a) a \approx 4{,}0729\\ \text{\AA} ( =4{,}0729\times10^{-10}\\ \mathrm{m})
(b) \rho \approx 19{,}33\\ \mathrm{g/cm^3}
(c) \text{APF} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74048
(d) \rho_L([110]) = \dfrac{\sqrt{2}}{a} \approx 3{,}4729\times10^{9}\\ \mathrm{átomos\\ m^{-1}}á ( \approx 3{,}4729\\ \mathrm{átomos\\ nm^{-1}}á)
(e) \rho_P((100)) = \dfrac{2}{a^2} \approx 1{,}2047\times10^{19}\\ \mathrm{átomos\\ m^{-2}}á ( \approx 12{,}047\\ \mathrm{átomos\\ nm^{-2}}á)

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