1- Em um reator de combustão que opera a 1450 K e 1 atm , pellets de carvão são pulverizados em um leito fluidizado alimentado com oxigênio puro. Os pellets podem ser aproximados como partículas esféricas com raio \mathrm{R}=1 mm . O oxigênio é transportado por difusão até a superfície da partícula, onde reage segundo a estequiometria \mathrm{C}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{O}_{2} \rightarrow \mathrm{CO}_{2}. O processo é controlado pela difusão, com reação instantânea para o consumo de \mathrm{O}_{2} e a difusividade binária para o sistema \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}-\mathrm{CO}_{2(\mathrm{~g})} é \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,185 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} a 273 K e 1 atm. Pede-se:
(a) obtenha as expressões para as distribuições radiais de concentração em regime estacionário;
(b) estime a taxa de consumo de \mathrm{O}_{2} em moles/s;
(c) assumindo que o processo possa ser aproximado como pseudoestacionário, estime o tempo necessário para consumir um pellet de carvão.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Vou listar tudo com calma para não escapar nada.
Dados fornecidos:
Raio da partícula (pellet): \displaystyle R=1\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Temperatura do processo: \displaystyle T=1450\\ \mathrm{K}.
Reação na superfície (estequiometria): \displaystyle \mathrm{C}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}\rightarrow\mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})}.
Processo controlado por difusão (reação instantânea na superfície, ou seja, \mathrm{O}_2 que atinge a superfície é consumido imediatamente).
Difusividade binária dada a 273\\ \mathrm{K}: \displaystyle D_{AB}(273\\ \mathrm{K})=0{,}185\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Gás ao redor é oxigênio puro (logo a concentração de oxigênio distante da partícula é a concentração total do gás).
O que o enunciado pede:
(a) obter as expressões para a distribuição radial de concentração em regime estacionário;
(b) estimar a taxa de consumo de \mathrm{O}_2 em mol/s;
(c) assumindo pseudoestacionariedade, estimar o tempo necessário para consumir um pellet de carvão.
Observação: não há densidade do pellet no enunciado; para estimar o tempo (item c) vou assumir uma densidade típica de material carbonáceo. Vou explicitar essa hipótese quando necessário.
Passo 2
Vou obter a difusividade à temperatura de operação (1450\\ \mathrm{K}), porque foi dada apenas em 273\\ \mathrm{K}. Aqui usamos a lei empírica (Chapman–Enskog simplificado) que diz, para gases a pressão igual, que a difusividade binária escala aproximadamente como \,T^{3/2}\,. Ou seja:
D_{AB}(T)\propto \frac{T^{3/2}}{P}.
Como a pressão é a mesma (1\\ \mathrm{atm}) usamos a razão de temperaturas:
A concentração no infinito é a concentração do gás em bulk: \displaystyle C(\infty)=C_{\infty}. Isso implica B=C_{\infty}.
Como a reação na superfície é instantânea, a concentração de \mathrm{O}_2 imediatamente na superfície da partícula é nula: \displaystyle C(R)=0. Assim:
Dentro da partícula sólida (para r<R) não há difusão de \mathrm{O}_2 no problema modelado, logo pode-se tomar \displaystyle C(r)=0 para r<R (ou simplesmente que a fase gasosa existe só para r\ge R).
Passo 4
Agora eu calculo a taxa de consumo de \mathrm{O}_2 (mol/s). Primeiro preciso de \displaystyle C_{\infty}, a concentração molar do oxigênio no gás ambiente a T=1450\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{atm}. Usamos a equação dos gases ideais:
\displaystyle C_{\infty}=\frac{P}{R_{u}T},
onde \displaystyle R_{u}=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Então
Interpretação: a partícula consome aproximadamente \,2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{mol} de \mathrm{O}_2 por segundo sob as hipóteses do enunciado.]
Passo 5
Agora estimo o tempo para consumir um pellet (item c). Primeiro relaciono este tempo com as quantidades molares.
Pela estequiometria \displaystyle \mathrm{C}+\mathrm{O}_2\rightarrow\mathrm{CO}_2, cada mol de \mathrm{O}_2 consumido consome exatamente 1 mol de C. Então a taxa molar de consumo de carbono é igual a \dot{N}_{\mathrm{O}_2}. O tempo para consumir o pellet é
Preciso de uma densidade. Vou assumir uma densidade típica para um pellet carbonáceo/coalaceous aproximada por \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (Comentário: pellets de carvão podem variar; se preferir outro valor a conta é análoga; eu explicito a hipótese porque o enunciado não fornece \rho.)
Arredondando: cerca de 22\\ \mathrm{s} para consumir totalmente o pellet, assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Checagem da hipótese de pseudoestacionariedade:
A condição de pseudoestacionariedade significa que o perfil de concentração se ajusta muito mais rapidamente que o tempo de variação da massa do pellet. Uma estimativa de tempo difusivo para ajustar o perfil é t_{\text{dif}}\sim R^{2}/D.
que é muito menor que t\approx 22\\ \mathrm{s}. Portanto a aproximação pseudoestacionária é bem justificada.
Passo 6
Resumo numérico e comentários finais (para ajudar na prova):
Expressão da distribuição radial (para usar diretamente em questões): \displaystyle C(r)=C_{\infty}\left(1-\frac{R}{r}\right) para r\ge R e C(r)=0 no sólido (r<R).
Fórmula rápida para taxa de consumo em regime de difusão limitada (útil em prova): \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}=4\pi R D C_{\infty}.
Valores calculados: \displaystyle D(1450\\ \mathrm{K})\approx 2{,}27\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}, \displaystyle C_{\infty}\approx 8{,}405\\ \mathrm{mol/m^{3}}, \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}\approx 2{,}395\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}, tempo \approx 22\\ \mathrm{s} (assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Se usar outra densidade, o tempo escala linearmente com \rho.
Resposta
(a) \displaystyle C(r)=C_{\infty}\left(1-\frac{R}{r}\right) para r\ge R (e C(r)=0 no sólido, r<R).\n
(b) \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}\approx 2{,}395\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.\n
(c) \displaystyle t\approx 22\\ \mathrm{s} (assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}; pseudoestacionariedade verificada porque R^{2}/D\approx 4{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{s}\ll t).