1- Em um reator de combustão que opera a 1450 K e 1 atm , pellets de carvão são pulverizados em um leito fluidizado alimentado com oxigênio puro. Os pellets podem ser aproximados como partículas esféricas com raio \mathrm{R}=1 mm . O oxigênio é transportado por difusão até a superfície da partícula, onde reage segundo a estequiometria \mathrm{C}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{O}_{2} \rightarrow \mathrm{CO}_{2}. O processo é controlado pela difusão, com reação instantânea para o consumo de \mathrm{O}_{2} e a difusividade binária para o sistema \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})}-\mathrm{CO}_{2(\mathrm{~g})} é \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,185 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} a 273 K e 1 atm. Pede-se:
(a) obtenha as expressões para as distribuições radiais de concentração em regime estacionário;
(b) estime a taxa de consumo de \mathrm{O}_{2} em moles/s;
(c) assumindo que o processo possa ser aproximado como pseudoestacionário, estime o tempo necessário para consumir um pellet de carvão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Vou listar tudo com calma para não escapar nada.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da partícula (pellet): \displaystyle R=1\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura do processo: \displaystyle T=1450\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: \displaystyle P=1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Reação na superfície (estequiometria): \displaystyle \mathrm{C}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}\rightarrow\mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})}.
    • Processo controlado por difusão (reação instantânea na superfície, ou seja, \mathrm{O}_2 que atinge a superfície é consumido imediatamente).
    • Difusividade binária dada a 273\\ \mathrm{K}: \displaystyle D_{AB}(273\\ \mathrm{K})=0{,}185\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Gás ao redor é oxigênio puro (logo a concentração de oxigênio distante da partícula é a concentração total do gás).
  • O que o enunciado pede:
    (a) obter as expressões para a distribuição radial de concentração em regime estacionário;
    (b) estimar a taxa de consumo de \mathrm{O}_2 em mol/s;
    (c) assumindo pseudoestacionariedade, estimar o tempo necessário para consumir um pellet de carvão.
Observação: não há densidade do pellet no enunciado; para estimar o tempo (item c) vou assumir uma densidade típica de material carbonáceo. Vou explicitar essa hipótese quando necessário.

Passo 2

Vou obter a difusividade à temperatura de operação ( 1450\\ \mathrm{K}), porque foi dada apenas em 273\\ \mathrm{K}. Aqui usamos a lei empírica (Chapman–Enskog simplificado) que diz, para gases a pressão igual, que a difusividade binária escala aproximadamente como \,T^{3/2}\,. Ou seja:
D_{AB}(T)\propto \frac{T^{3/2}}{P}.
Como a pressão é a mesma ( 1\\ \mathrm{atm}) usamos a razão de temperaturas:
\displaystyle D_{AB}(1450\\ \mathrm{K})=D_{AB}(273\\ \mathrm{K})\left(\frac{1450}{273}\right)^{3/2}.
Agora calculo numericamente. Primeiro converto a difusividade dada:
D_{AB}(273\\ \mathrm{K})=0{,}185\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}=1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
A razão de temperaturas é \displaystyle \frac{1450}{273}\approx 5{,}314. Elevando a 3/2:
\left(\frac{1450}{273}\right)^{3/2}\approx 12{,}25.
Portanto
\displaystyle D_{AB}(1450\\ \mathrm{K})\approx 1{,}85\times10^{-5}\times 12{,}25 =2{,}266\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 3

Agora obtemos a distribuição radial de concentração em regime estacionário (difusão esférica com reação instantânea na superfície).
Raciocínio físico e equação diferencial:
  • Em regime estacionário, para regime difundivo radial simétrico, a conservação de espécie no gás leva à equação
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2} J_{r}\right)=0,
onde J_{r} é o fluxo molar radial (mol/m^2·s). Como J_{r}=-D\,\dfrac{dC}{dr} (lei de Fick, D constante no espaço),
temos
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(-D r^{2}\frac{dC}{dr}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dC}{dr}\right)=0.
Integrando uma vez dá
r^{2}\frac{dC}{dr}=A,
ou
\frac{dC}{dr}=\frac{A}{r^{2}}.
Integrando novamente:
C(r)=B-\frac{A}{r}.
Aplicamos as condições de contorno:
  • A concentração no infinito é a concentração do gás em bulk: \displaystyle C(\infty)=C_{\infty}. Isso implica B=C_{\infty}.
  • Como a reação na superfície é instantânea, a concentração de \mathrm{O}_2 imediatamente na superfície da partícula é nula: \displaystyle C(R)=0. Assim:
0=C_{\infty}-\frac{A}{R}\quad\Rightarrow\quad A=R C_{\infty}.
Portanto a distribuição radial para r\ge R é
\boxed{\displaystyle C(r)=C_{\infty}\left(1-\frac{R}{r}\right),\qquad r\ge R.}
Dentro da partícula sólida (para r<R) não há difusão de \mathrm{O}_2 no problema modelado, logo pode-se tomar \displaystyle C(r)=0 para r<R (ou simplesmente que a fase gasosa existe só para r\ge R).

Passo 4

Agora eu calculo a taxa de consumo de \mathrm{O}_2 (mol/s). Primeiro preciso de \displaystyle C_{\infty}, a concentração molar do oxigênio no gás ambiente a T=1450\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{atm}. Usamos a equação dos gases ideais:
\displaystyle C_{\infty}=\frac{P}{R_{u}T},
onde \displaystyle R_{u}=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Então
\displaystyle C_{\infty}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}314\times1450} \approx 8{,}405\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Fluxo molar radial na superfície (magnitude):
a partir de J_{r}=-D\,dC/dr e usando A=R C_{\infty},
\left.\frac{dC}{dr}\right|_{r=R}=\frac{A}{R^{2}}=\frac{R C_{\infty}}{R^{2}}=\frac{C_{\infty}}{R}.
Assim o fluxo para dentro (módulo) é
\left|J_{r}(R)\right|=D\frac{C_{\infty}}{R}.
A taxa total de consumo (mol/s) é o fluxo vezes a área da esfera:
\dot{N}_{\mathrm{O}_2}=4\pi R^{2}\left|J_{r}(R)\right| =4\pi R^{2}\cdot D\frac{C_{\infty}}{R} =4\pi R D C_{\infty}.
Agora substituo numericamente:
\begin{aligned} R&=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\\[4pt] D&\approx 2{,}266\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s},\\[4pt] C_{\infty}&\approx 8{,}405\\ \mathrm{mol/m^{3}}. \end{aligned}
Logo
\dot{N}_{\mathrm{O}_2}=4\pi(1{,}0\times10^{-3})(2{,}266\times10^{-4})(8{,}405) \approx 2{,}395\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.
Interpretação: a partícula consome aproximadamente \,2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{mol} de \mathrm{O}_2 por segundo sob as hipóteses do enunciado.]

Passo 5

Agora estimo o tempo para consumir um pellet (item c). Primeiro relaciono este tempo com as quantidades molares.
Pela estequiometria \displaystyle \mathrm{C}+\mathrm{O}_2\rightarrow\mathrm{CO}_2, cada mol de \mathrm{O}_2 consumido consome exatamente 1 mol de C. Então a taxa molar de consumo de carbono é igual a \dot{N}_{\mathrm{O}_2}. O tempo para consumir o pellet é
t=\frac{n_{C,\text{inicial}}}{\dot{N}_{\mathrm{O}_2}},
onde n_{C,\text{inicial}} é o número de mols de C no pellet inicialmente.
Cálculo de n_{C,\text{inicial}}:
  • Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi(1{,}0\times10^{-3})^{3} =4{,}18879\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Preciso de uma densidade. Vou assumir uma densidade típica para um pellet carbonáceo/coalaceous aproximada por \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (Comentário: pellets de carvão podem variar; se preferir outro valor a conta é análoga; eu explicito a hipótese porque o enunciado não fornece \rho.)
  • Massa do pellet:
m=\rho V=1500\times 4{,}18879\times10^{-9} =6{,}28319\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}=6{,}28319\times10^{-3}\\ \mathrm{g}.
  • Número de mols de C (massa molar do carbono M_{C}=12{,}00\\ \mathrm{g/mol}):
n_{C}=\frac{m}{M_{C}}=\frac{6{,}28319\times10^{-3}}{12{,}00} =5{,}236\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.
Finalmente o tempo:
t=\frac{5{,}236\times10^{-4}}{2{,}395\times10^{-5}}\approx 21{,}9\\ \mathrm{s}.
Arredondando: cerca de 22\\ \mathrm{s} para consumir totalmente o pellet, assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Checagem da hipótese de pseudoestacionariedade:
  • A condição de pseudoestacionariedade significa que o perfil de concentração se ajusta muito mais rapidamente que o tempo de variação da massa do pellet. Uma estimativa de tempo difusivo para ajustar o perfil é t_{\text{dif}}\sim R^{2}/D.
t_{\text{dif}}\approx\frac{(1{,}0\times10^{-3})^{2}}{2{,}266\times10^{-4}} \approx 4{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{s},
que é muito menor que t\approx 22\\ \mathrm{s}. Portanto a aproximação pseudoestacionária é bem justificada.

Passo 6

Resumo numérico e comentários finais (para ajudar na prova):
  • Expressão da distribuição radial (para usar diretamente em questões): \displaystyle C(r)=C_{\infty}\left(1-\frac{R}{r}\right) para r\ge R e C(r)=0 no sólido ( r<R).
  • Fórmula rápida para taxa de consumo em regime de difusão limitada (útil em prova): \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}=4\pi R D C_{\infty}.
  • Valores calculados: \displaystyle D(1450\\ \mathrm{K})\approx 2{,}27\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}, \displaystyle C_{\infty}\approx 8{,}405\\ \mathrm{mol/m^{3}}, \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}\approx 2{,}395\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}, tempo \approx 22\\ \mathrm{s} (assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Se usar outra densidade, o tempo escala linearmente com \rho.

Resposta

(a) \displaystyle C(r)=C_{\infty}\left(1-\frac{R}{r}\right) para r\ge R (e C(r)=0 no sólido, r<R).\n
(b) \displaystyle \dot{N}_{\mathrm{O}_2}\approx 2{,}395\times10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.\n
(c) \displaystyle t\approx 22\\ \mathrm{s} (assumindo \rho=1500\\ \mathrm{kg/m^{3}}; pseudoestacionariedade verificada porque R^{2}/D\approx 4{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{s}\ll t).

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