( 2,0 pontos) Água a 40^{\circ} \mathrm{C} é bombeada à taxa de 2,5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório que está 20 m acima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acima da bomba. A pressāo no lado da admissāo da bomba é de 100 kPa e no lado da descarga é de 750 kPa . Todos os tubos sāo de aço laminado com diâmetro nominal de 2 in. Determine:
  • A altura de carga fornecida pela bomba;
  • A perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre.
  • Esta bomba está adequada para o sistema?
    Considere a presença dos seguintes acessórios:
  • 2 joelhos 90^{\circ};
  • 2 curvas 90^{\circ};
  • 1 registro globo metade aberto;
  • Comprimento total da tubulação de 200 m .

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado dá e o que pede, com todos os dados bem organizadinhos (respira, a gente resolve):\n
Dado:\n
Q = 2{,}5\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s} (vazão)\n
Água a 40^\circ\mathrm{C} (vou usar propriedades padrão dessa temperatura)\n
Reservatório de sucção localizado 20\\ \mathrm{m} acima da bomba (informação do enunciado)\n
Descarga livre a 35\\ \mathrm{m} acima da bomba (ponto de descarga)\n
Pressão no lado de admissão da bomba: p_{s} = 100\\ \mathrm{kPa}\n
Pressão no lado de descarga da bomba: p_{d} = 750\\ \mathrm{kPa}\n
Tubulação de aço laminado, diâmetro nominal 2\\ \mathrm{in} (vou tomar D = 0{,}0508\\ \mathrm{m}, ou seja 2 in =0{,}0508\\ \mathrm{m} como diâmetro interno para os cálculos)\n
Acessórios: 2 joelhos 90^\circ, 2 curvas 90^\circ, 1 registro globo metade aberto\n
Comprimento total da tubulação: L = 200\\ \mathrm{m}\n
Valores que vou assumir (padrões para água/ aço):\n
densidade da água a 40^\circ\mathrm{C}: \rho = 992{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}\n
viscosidade cinemática a 40^\circ\mathrm{C}: \nu = 6{,}6\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}\n
rugosidade absoluta para aço laminado: \varepsilon = 4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\n
pressão atmosférica (para descarga livre): p_{atm} = 101{,}3\\ \mathrm{kPa}\n
O que o enunciado pede:\n
  1. A altura de carga fornecida pela bomba (ou seja, a carga adicionada pela bomba, em metros de coluna d’água).\n
  2. A perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre (ou seja, as perdas por atrito + acessórios entre a bomba e o ponto de descarga a 35\\ \mathrm{m}).\n
  3. Dizer se a bomba está adequada para o sistema (comparação entre o que a bomba entrega e o que o sistema exige).\n
    Observação: eu não vou inventar dados; usei valores típicos para densidade, viscosidade e rugosidade. Também adotei D=0{,}0508\\ \mathrm{m} como diâmetro interno (2 in). Se o seu curso usa outro valor de diâmetro interno para “2 in”, o resultado numérico muda, mas o método continua o mesmo.

Passo 2

Resumo dos primeiros passos de cálculo: área da seção, velocidade média e termo cinético (carga de velocidade).\n
Área da seção interna da tubulação:\n
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}0508)^{2}}{4} = 0{,}002026\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Velocidade média da água na tubulação:\n
v = \frac{Q}{A} = \frac{2{,}5\times 10^{-2}}{0{,}002026} \approx 12{,}33\\ \mathrm{m/s}.\n
Termo de velocidade (carga cinética):\n
\frac{v^{2}}{2g} = \frac{(12{,}33)^{2}}{2\cdot 9{,}81} \approx 7{,}76\\ \mathrm{m}.\n
Explicação didática: A é a área circular do tubo; v é a velocidade média — na prova você sempre calcula assim. O termo \dfrac{v^{2}}{2g} é chamado de carga de velocidade (ou head de velocidade) e aparece na equação de Bernoulli.

Passo 3

Calcular a altura de carga fornecida pela bomba (o que a bomba “coloca” de energia por unidade de peso de fluido).\n
Conceito: a carga fornecida pela bomba H_{b} é a diferença entre as cotas piezométricas (piezometric heads) na descarga e na sucção imediatamente nas flanges da bomba, ou seja:\n
H_{b} = \left(\frac{p_{d}}{\rho g} + z_{d} + \frac{v_{d}^{2}}{2g}\right) - \left(\frac{p_{s}}{\rho g} + z_{s} + \frac{v_{s}^{2}}{2g}\right).\n
No nosso caso as medidas de pressão p_{d} e p_{s} são dadas na bomba; a bomba está colocada numa mesma cota (tomamos z_{d}=z_{s}=0 na flange da bomba) e o diâmetro é o mesmo nas duas faces (logo v_d = v_s = v), então os termos de cota e de velocidade cancelam. Portanto:\n
H_{b} = \frac{p_{d}-p_{s}}{\rho g}.\n
Agora os números (lembre que p em Pa): p_{d}-p_{s} = (750-100)\\ \mathrm{kPa} = 650\\\ 000\\ \mathrm{Pa}.\n
H_{b} = \frac{650\,000}{992{,}2\cdot 9{,}81} \approx 66{,}8\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: a bomba está entregando cerca de 66{,}8\\ \mathrm{m} de carga. Na prova, isso é só diferença de pressão transformada pra metros de água.

Passo 4

Agora vamos calcular as perdas por atrito no trecho (Darcy–Weisbach) — precisamos do fator de atrito f.\n
Primeiro o número de Reynolds:\n
\mathrm{Re} = \frac{vD}{\nu} = \frac{12{,}33\cdot 0{,}0508}{6{,}6\times 10^{-7}} \approx 9{,}49\times 10^{5},\n
ou seja, fluxo bem turbulento.\n
Usamos a fórmula de Swamee–Jain (fórmula explícita aproximada para f, válida para fluxo turbulento totalmente desenvolvido):\n
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.\n
Computando os termos: \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} = \dfrac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}0508}\approx 2{,}45\times 10^{-4}. Também \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 2{,}39\times 10^{-5}. Somando e aplicando a fórmula, obtemos:\n
f \approx 0{,}0196.\n
Explicação: f depende da rugosidade relativa \varepsilon/D e de Re; para tubos de aço e Re grande, f fica na faixa de 0{,}01 0{,}03 normalmente.

Passo 5

Perda linear por atrito (Darcy–Weisbach) ao longo do comprimento de L=200\\ \mathrm{m}:\n
h_{f} = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}.\n
Calculemos:\n
\frac{L}{D} = \frac{200}{0{,}0508} \approx 3{,}937{,}0,\n
h_{f} = 0{,}0196\cdot 3937{,}0\cdot 7{,}76 \approx 598{,}6\\ \mathrm{m}.\n
Interpretação: isso é a perda de carga só por atrito ao longo dos 200\\ \mathrm{m}. Já dá para sentir que é enorme — porque o tubo é muito estreito para a vazão solicitada.

Passo 6

Perdas localizadas (acessórios). Vou assumir valores típicos de coeficientes K para cada peça (tabela usual em cursos):\n
  • Joelho 90° (curto raio): K_{joelho}\approx 0{,}30\n
  • Curva 90° (raio maior/ curva suave): K_{curva}\approx 0{,}20\n
  • Registro globo metade aberto: K_{globo\,(\frac{1}{2})}\approx 10{,}0\n
    Somando:\n
\sum K = 2\cdot 0{,}30 + 2\cdot 0{,}20 + 10{,}0 = 11{,}0.\n
Perda localizada total (conversão para metros de coluna d’água):\n
h_{m} = \left(\sum K\right)\frac{v^{2}}{2g} = 11{,}0\cdot 7{,}76 \approx 85{,}3\\ \mathrm{m}.\n
Explicação: cada acessório tem um coeficiente K que representa quantas vezes o termo de velocidade ele dissipa; multiplicando por v^{2}/2g dá a perda em metros.

Passo 7

Perda de carga total calculada (soma das perdas lineares e localizadas) entre a bomba e o ponto de descarga (conforme pedido no enunciado):\n
h_{total\,(calc)} = h_{f} + h_{m} \approx 598{,}6 + 85{,}3 = 683{,}9\\ \mathrm{m}.\n
Comentário didático: esse é o valor que o sistema “exige” em perdas hidráulicas para a vazão dada em um tubo de 2 in por 200 m com os acessórios citados. Se a bomba não entregar pelo menos isso (além da elevação), não haverá vazão correta.

Passo 8

Comparação entre a carga fornecida pela bomba H_{b} e a perda exigida pelo sistema. Temos:\n
H_{b} \approx 66{,}8\\ \mathrm{m} (Passo 3)\n
h_{total\,(calc)} \approx 683{,}9\\ \mathrm{m} (Passo 7)\n
Claramente H_{b} \ll h_{total\,(calc)}. Ou seja, a bomba só coloca cerca de 66{,}8\\ \mathrm{m} de carga e o sistema exige quase 684\\ \mathrm{m} de carga só para vencer perdas (sem contar a elevação de 35\\ \mathrm{m}). Portanto, com esse diâmetro de tubo e essa vazão, a bomba não é capaz de vencer as perdas do sistema.\n
Observação importante (consistência dos dados): se em vez de calcularmos perdas por Darcy–Weisbach + K usarmos somente as pressões dadas na bomba e a descarga livre para obter a perda total via equação de energia, obtemos um número diferente (mais baixo). Fazendo Bernoulli entre flange de descarga da bomba e saída livre (pressão atmosférica) obtemos uma perda implícita de cerca de 31{,}7\\ \mathrm{m} — mas esse valor conflita com as perdas reais calculadas pelo atrito e pelos acessórios ( 683{,}9\\ \mathrm{m} ). Isso indica que os dados de pressão/diâmetro/vazão dados no enunciado não são compatíveis fisicamente: ou a tubulação usada na prática tem diâmetro bem maior que 2 in, ou a pressão de descarga informada ( 750\\ \mathrm{kPa} ) não corresponde a um sistema com as características indicadas. Em todo caso, seguindo os dados do enunciado e as fórmulas corretas, a bomba é insuficiente.

Passo 9

Recomendações rápidas (como agir na prova e em projeto):\n
  • Na prova, calcule sempre a velocidade e verifique se a velocidade resultante é razoável para o diâmetro dado; aqui v\approx 12{,}3\\ \mathrm{m/s} é muito alto para condutas comerciais, o que já dá pista de que algo não bate.\n
  • Para que a bomba fosse adequada, ou você reduziria a perda (aumentando muito o diâmetro do tubo) ou escolheria uma bomba com muito mais carga (centenas de metros) — o que é pouco prático.\n
  • Em exercícios, é comum que se peça mostrar essa inconsistência e concluir que a bomba não serve, o que é exatamente o caso aqui. Força — você já entendeu o raciocínio e os passos essenciais!

Resposta

H_{b} \approx 66{,}8\\ \mathrm{m}.\n
h_{total\,(calc)} \approx 683{,}9\\ \mathrm{m} (perdas por atrito + perdas em acessórios, com D=0{,}0508\\ \mathrm{m}).\n
Não. A bomba não está adequada para o sistema (a carga fornecida 66{,}8\\ \mathrm{m} é muito menor que a perda necessária \approx 684\\ \mathrm{m}; os dados de pressão/diâmetro/vazão são, portanto, incompatíveis — seria preciso aumentar muito o diâmetro da tubulação ou usar outra bomba).

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