Uma compra pode ser efetuada mediante pagamento de
2.200
$3060$ cada, com vencimento em 2 , 3 e 5 meses. O valor da compra à vista é de 11.000. Qual a taxa de juros mensal considerada no financiamento? R.: 1,28%. (Assaf Neto, 2012)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Pagamento à vista (preço contado):
. - Pagamento imediato no financiamento:
(no ato, mês 0). - Três pagamentos iguais de
com vencimentos em 2, 3 e 5 meses.
- Pagamento à vista (preço contado):
- O enunciado pede: determinar a taxa de juros mensal considerada no financiamento (ou seja, a taxa mensal
que torna o valor presente dos pagamentos financiados igual ao preço à vista).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática):
- Quando há juros compostos, o valor presente (PV) de um pagamento futuro (valor nominal) é calculado dividindo o valor futuro por
, onde: -
é a taxa de juros por período (aqui, taxa mensal); -
é o número de períodos até o pagamento.
-
- Fórmula básica para um pagamento futuro
pago em períodos: - No nosso problema, o preço à vista deve ser igual à soma do pagamento à vista do financiamento mais os valores presentes dos pagamentos futuros. Essa igualdade permite achar
.
Passo 3
Escrever a equação do valor presente usando os dados:
- O pagamento imediato
já é valor presente (mês 0). - Os três pagamentos de
ocorrem em meses, então seus valores presentes são , e .
A equação que garante equivalência ao preço à vista é
Passo 4
Simplificar a equação para isolar os termos que envolvem
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
para trabalhar com uma soma adimensional:
Calcule a razão numérica do lado direito:
Passo 5
Escolha do método para resolver a equação:
- A equação é não-linear em
. Uma forma prática (usada em provas quando o enunciado fornece resposta aproximada) é usar tentativa e ajuste (método de interpolação) ou Newton-Raphson. Aqui farei tentativa ajustada (trial-and-improve) e mostrarei verificação numérica simples, porque a taxa esperada é pequena e isso permite convergir rápido. - Defino
. A equação é . Buscaremos (pequena) testando valores plausíveis.
Passo 6
Primeiros testes para achar um intervalo onde
está:
- Teste com
isto é e .
Calcular aproximações via expansão (fórmulas de série ou cálculo direto) — aqui uso a expansão binomial truncada, válida porque
é pequeno:
-
Para
(ou seja ): Substituindo: Soma aproximada:.
Isso dariaa descontar, e somando dá (acima de ). Logo precisa ser um pouco maior que . -
Teste com
( ):
Usando as mesmas fórmulas:Soma:.
Multiplicando pordá aproximadamente ; somando resulta (abaixo de ). Logo a taxa está entre e .
Passo 7
Refinar a busca entre
e
. Vamos testar
(dado da resposta esperada) e verificar a precisão:
Tome
e
. Usando expansão binomial truncada (mantendo termos até
e
quando necessário), calculamos:
-
.
Substituindo: -
.
Calculandoe : -
.
Somando esses três termos:
Multiplicando por
para obter o valor presente dos três pagamentos:
Somando o pagamento imediato
:
que é extremamente próximo de
. A diferença é aproximadamente
, desprezível neste contexto de arredondamento.
Passo 8
Interpretação e conclusão do ajuste:
- O teste com
(ou seja, ao mês) produz valor presente praticamente igual a dentro do erro de arredondamento da expansão usada. - Como já havíamos verificado que
está entre e , e o teste em fecha a equação com praticamente zero de erro, podemos aceitar como a taxa mensal do financiamento.