Uma compra pode ser efetuada mediante pagamento de \ 2.200 no ato da compra, e mais três pagamentos no valor deê$3060$ cada, com vencimento em 2 , 3 e 5 meses. O valor da compra à vista é de 11.000. Qual a taxa de juros mensal considerada no financiamento? R.: 1,28%. (Assaf Neto, 2012)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Pagamento à vista (preço contado): \$\,11.000.
    • Pagamento imediato no financiamento: \$\,2.200 (no ato, mês 0).
    • Três pagamentos iguais de \$\,3.060 com vencimentos em 2, 3 e 5 meses.
  • O enunciado pede: determinar a taxa de juros mensal considerada no financiamento (ou seja, a taxa mensal i que torna o valor presente dos pagamentos financiados igual ao preço à vista).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Quando há juros compostos, o valor presente (PV) de um pagamento futuro (valor nominal) é calculado dividindo o valor futuro por (1+i)^n, onde:
    • i é a taxa de juros por período (aqui, taxa mensal);
    • n é o número de períodos até o pagamento.
  • Fórmula básica para um pagamento futuro F pago em n períodos: \text{PV}=\frac{F}{(1+i)^n}.
  • No nosso problema, o preço à vista deve ser igual à soma do pagamento à vista do financiamento mais os valores presentes dos pagamentos futuros. Essa igualdade permite achar i.

Passo 3

Escrever a equação do valor presente usando os dados:
  • O pagamento imediato \$\,2.200 já é valor presente (mês 0).
  • Os três pagamentos de \$\,3.060 ocorrem em n=2,3,5 meses, então seus valores presentes são \dfrac{3.060}{(1+i)^2}, \dfrac{3.060}{(1+i)^3} e \dfrac{3.060}{(1+i)^5}.
A equação que garante equivalência ao preço à vista é
2.200+\frac{3.060}{(1+i)^2}+\frac{3.060}{(1+i)^3}+\frac{3.060}{(1+i)^5}=11.000.

Passo 4

Simplificar a equação para isolar os termos que envolvem i:
Subtraindo 2.200 de ambos os lados:
\frac{3.060}{(1+i)^2}+\frac{3.060}{(1+i)^3}+\frac{3.060}{(1+i)^5}=8.800.
Dividindo ambos os lados por 3.060 para trabalhar com uma soma adimensional:
\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{1}{(1+i)^3}+\frac{1}{(1+i)^5}=\frac{8.800}{3.060}.
Calcule a razão numérica do lado direito:
\frac{8.800}{3.060}=\frac{440}{153}\approx2,8732.

Passo 5

Escolha do método para resolver a equação:
  • A equação é não-linear em i. Uma forma prática (usada em provas quando o enunciado fornece resposta aproximada) é usar tentativa e ajuste (método de interpolação) ou Newton-Raphson. Aqui farei tentativa ajustada (trial-and-improve) e mostrarei verificação numérica simples, porque a taxa esperada é pequena e isso permite convergir rápido.
  • Defino x=1+i. A equação é x^{-2}+x^{-3}+x^{-5}=2,8732. Buscaremos i (pequena) testando valores plausíveis.

Passo 6

Primeiros testes para achar um intervalo onde i está:
  • Teste com i=1\% isto é i=0,01 e x=1{,}01.
Calcular aproximações via expansão (fórmulas de série ou cálculo direto) — aqui uso a expansão binomial truncada, válida porque i é pequeno:
  • Para x=1{,}01 (ou seja r=0{,}01):
    (1+r)^{-2}\approx 1-2r+3r^2,\qquad (1+r)^{-3}\approx 1-3r+6r^2,\qquad (1+r)^{-5}\approx 1-5r+15r^2.
    Substituindo r=0{,}01:
    (1+r)^{-2}\approx 0,9803,\quad (1+r)^{-3}\approx 0,9703,\quad (1+r)^{-5}\approx 0,9510.
    Soma aproximada: 0,9803+0,9703+0,9510\approx2,9016.
    Isso daria 3.060\times2,9016\approx8.876 a descontar, e somando 2.200 11.076 (acima de 11.000). Logo i precisa ser um pouco maior que 1\%.
  • Teste com i=2\% ( r=0{,}02):
    Usando as mesmas fórmulas:
    (1+r)^{-2}\approx 0,9612,\quad(1+r)^{-3}\approx0,9426,\quad(1+r)^{-5}\approx0,9057.
    Soma: 0,9612+0,9426+0,9057\approx2,8095.
    Multiplicando por 3.060 dá aproximadamente 8.595; somando 2.200 resulta 10.795 (abaixo de 11.000). Logo a taxa está entre 1\% e 2\%.

Passo 7

Refinar a busca entre 1\% e 2\%. Vamos testar i=1{,}28\% (dado da resposta esperada) e verificar a precisão:
Tome i=0{,}0128 e r=0{,}0128. Usando expansão binomial truncada (mantendo termos até r^2 e r^3 quando necessário), calculamos:
  • (1+r)^{-2}\approx 1-2r+3r^2.
    Substituindo:
    (1+r)^{-2}\approx 1-2(0{,}0128)+3(0{,}0128)^2 =1-0{,}0256+3(0{,}00016384) =1-0{,}0256+0{,}00049152 =0{,}97489152.
  • (1+r)^{-3}\approx 1-3r+6r^2-10r^3.
    Calculando r^2=0{,}00016384 e r^3\approx0{,}000002097:
    (1+r)^{-3}\approx 1-3(0{,}0128)+6(0{,}00016384)-10(0{,}000002097) =1-0{,}0384+0{,}00098304-0{,}00002097 \approx0{,}96256207.
  • (1+r)^{-5}\approx 1-5r+15r^2-35r^3.
    (1+r)^{-5}\approx 1-5(0{,}0128)+15(0{,}00016384)-35(0{,}000002097) =1-0{,}064+0{,}0024576-0{,}000073395 \approx0{,}938384205.
Somando esses três termos:
0{,}97489152+0{,}96256207+0{,}938384205\approx2{,}875837795.
Multiplicando por \$\,3.060 para obter o valor presente dos três pagamentos:
3.060\times2{,}875837795\approx8.800{,}06\\ (\text{aproximadamente}).
Somando o pagamento imediato \$\,2.200:
2.200+8.800{,}06\approx11.000{,}06,
que é extremamente próximo de \$\,11.000. A diferença é aproximadamente \$\,0{,}06, desprezível neste contexto de arredondamento.

Passo 8

Interpretação e conclusão do ajuste:
  • O teste com i=0{,}0128 (ou seja, 1{,}28\% ao mês) produz valor presente praticamente igual a \$\,11.000 dentro do erro de arredondamento da expansão usada.
  • Como já havíamos verificado que i está entre 1\% e 2\%, e o teste em 1{,}28\% fecha a equação com praticamente zero de erro, podemos aceitar i=1{,}28\% como a taxa mensal do financiamento.

Resposta

1{,}28\%\\ \text{ao mês}ê

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