Determine o preço que estaria disposto a pagar hoje por um título de $ 5.000 com vencimento em 10 anos, que propõe uma taxa de juros de 4,5 % a.a., pagos semestralmente (repare que são pagos, não capitalizados). Assuma uma TMA de 8 % a.a, capitalizada trimestralmente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados extraídos do enunciado:
- Valor nominal (resgate) do título:
. - Prazo até o vencimento:
anos. - Taxa nominal do título:
a.a., pagos semestralmente (ou seja, cupons semestrais). - Taxa mínima de atratividade (TMA):
a.a., capitalizada trimestralmente (taxa nominal com capitalização trimestral). - Observação do enunciado: os juros do título “são pagos, não capitalizados” — isto indica que os
a.a. são pagos como cupons periódicos (não há capitalização dos cupons no próprio título).
- Valor nominal (resgate) do título:
-
O que o problema pede:
- Determinar quanto estaria disposto a pagar hoje pelo título: isto é, calcular o valor presente (preço) dos fluxos de caixa futuros do título usando a TMA dada para descontar os fluxos.
Passo 2
Entender os fluxos de caixa do título (quanto e quando são pagos) e o número de períodos a considerar.
- O título paga juros semestralmente durante
anos. anos = semestres. Logo teremos pagamentos de cupom. - Além dos cupons, no final (após o 20.º semestre) há o resgate do principal
. - O cupom semestral
é calculado a partir da taxa nominal anual de aplicada ao valor nominal e paga a cada semestre. Assim: Vou calcular no próximo passo.
Passo 3
Calcular o valor do cupom semestral
.
- Fórmula e significado:
-
é o principal (valor de face). -
é a taxa nominal anual do título. - Dividimos por
porque os juros são pagos a cada semestre (dois semestres por ano).
-
- Cálculo:
- Conclusão: a cada semestre o título paga
.
Passo 4
Converter a TMA dada para a taxa efetiva por semestre que usaremos para descontar os fluxos.
- A TMA é dada como
a.a. capitalizada trimestralmente. Isso significa uma taxa nominal anual com capitalização trimestral . - A taxa por trimestre (taxa periódica trimestral) é:
- Queremos a taxa efetiva por semestre (6 meses). Um semestre corresponde a 2 trimestres, logo a taxa efetiva semestral
é: - Calculo numérico:
- Interpretação: a TMA de
a.a. com capitalização trimestral equivale a uma taxa efetiva por semestre de (ou por semestre). Essa é a taxa que usaremos para descontar os cupons semestrais.
Passo 5
Escrever a fórmula do valor presente (preço) do título e explicar cada termo.
-
O título gera:
- Uma anuidade de
pagamentos semestrais constantes (cupons), - Mais um pagamento único no final de
(resgate).
- Uma anuidade de
-
Fórmula do valor presente
: Onde:-
é o cupom por período ( ), -
é a taxa efetiva por período (aqui por semestre) ( ), -
é o número de períodos ( ), - O primeiro termo
é o valor presente de uma anuidade imediata de pagamentos de , - O segundo termo
é o valor presente do pagamento único do resgate no final.
-
-
Vou agora calcular cada parte numericamente.
Passo 6
Calcular o fator de desconto
(valor atual de $1 recebido no final).
- Temos
e . Primeiro calculemos e depois invertê-lo. - Uma forma prática: calcular progressivamente ou usar logaritmo. Aqui faço um cálculo progressivo resumido (apenas os resultados intermediários relevantes):
- Portanto o fator de desconto é
Passo 7
Calcular o valor presente dos cupons (anuidade) usando a fórmula e os números obtidos.
- A fórmula do valor presente da anuidade é
- Substituindo
, e : - Calculemos a fração:
- Então
Passo 8
Calcular o valor presente do resgate (principal) no final.
- Fórmula:
- Substituindo
e :
Passo 9
Somar os valores presentes dos cupons e do resgate para obter o preço total do título hoje.
- Soma:
- Arredondando para centavos, o preço justo hoje é aproximadamente
.