Determine o preço que estaria disposto a pagar hoje por um título de $ 5.000 com vencimento em 10 anos, que propõe uma taxa de juros de 4,5 % a.a., pagos semestralmente (repare que são pagos, não capitalizados). Assuma uma TMA de 8 % a.a, capitalizada trimestralmente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Valor nominal (resgate) do título: M=\$\,5.000.
    • Prazo até o vencimento: 10 anos.
    • Taxa nominal do título: 4{,}5\% a.a., pagos semestralmente (ou seja, cupons semestrais).
    • Taxa mínima de atratividade (TMA): 8\% a.a., capitalizada trimestralmente (taxa nominal com capitalização trimestral).
    • Observação do enunciado: os juros do título “são pagos, não capitalizados” — isto indica que os 4{,}5\% a.a. são pagos como cupons periódicos (não há capitalização dos cupons no próprio título).
  • O que o problema pede:
    • Determinar quanto estaria disposto a pagar hoje pelo título: isto é, calcular o valor presente (preço) dos fluxos de caixa futuros do título usando a TMA dada para descontar os fluxos.

Passo 2

Entender os fluxos de caixa do título (quanto e quando são pagos) e o número de períodos a considerar.
  • O título paga juros semestralmente durante 10 anos. 10 anos = 20 semestres. Logo teremos n=20 pagamentos de cupom.
  • Além dos cupons, no final (após o 20.º semestre) há o resgate do principal M=\$\,5.000.
  • O cupom semestral C é calculado a partir da taxa nominal anual de 4{,}5\% aplicada ao valor nominal e paga a cada semestre. Assim: C = M \times \frac{0{,}045}{2}.Vou calcular C no próximo passo.

Passo 3

Calcular o valor do cupom semestral C.
  • Fórmula e significado:
    • M é o principal (valor de face).
    • 0{,}045 é a taxa nominal anual do título.
    • Dividimos por 2 porque os juros são pagos a cada semestre (dois semestres por ano).
  • Cálculo: C = 5.000 \times \frac{0{,}045}{2} = 5.000 \times 0{,}0225 = \$\,112{,}50.
  • Conclusão: a cada semestre o título paga C=\$\,112{,}50.

Passo 4

Converter a TMA dada para a taxa efetiva por semestre que usaremos para descontar os fluxos.
  • A TMA é dada como 8\% a.a. capitalizada trimestralmente. Isso significa uma taxa nominal anual com capitalização trimestral i^{(4)}=0{,}08.
  • A taxa por trimestre (taxa periódica trimestral) é: i_{\text{tri}}=\frac{0{,}08}{4}=0{,}02\quad(\text{2\% por trimestre}).
  • Queremos a taxa efetiva por semestre (6 meses). Um semestre corresponde a 2 trimestres, logo a taxa efetiva semestral i é: i=(1+i_{\text{tri}})^{2}-1 = (1+0{,}02)^{2}-1 = 1{,}02^{2}-1.
  • Calculo numérico: 1{,}02^{2}=1{,}0404 \quad\Rightarrow\quad i=0{,}0404.
  • Interpretação: a TMA de 8\% a.a. com capitalização trimestral equivale a uma taxa efetiva por semestre de i=0{,}0404 (ou 4{,}04\% por semestre). Essa é a taxa que usaremos para descontar os cupons semestrais.

Passo 5

Escrever a fórmula do valor presente (preço) do título e explicar cada termo.
  • O título gera:
    • Uma anuidade de n=20 pagamentos semestrais constantes C (cupons),
    • Mais um pagamento único no final de M (resgate).
  • Fórmula do valor presente PV:
    PV = C\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \;+\; M\cdot(1+i)^{-n}.
    Onde:
    • C é o cupom por período ( \$\,112{,}50),
    • i é a taxa efetiva por período (aqui por semestre) ( i=0{,}0404),
    • n é o número de períodos ( n=20),
    • O primeiro termo C\cdot\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} é o valor presente de uma anuidade imediata de n pagamentos de C,
    • O segundo termo M\cdot(1+i)^{-n} é o valor presente do pagamento único do resgate no final.
  • Vou agora calcular cada parte numericamente.

Passo 6

Calcular o fator de desconto (1+i)^{-n} (valor atual de $1 recebido no final).
  • Temos i=0{,}0404 e n=20. Primeiro calculemos (1+i)^{n}=(1{,}0404)^{20} e depois invertê-lo.
  • Uma forma prática: calcular progressivamente ou usar logaritmo. Aqui faço um cálculo progressivo resumido (apenas os resultados intermediários relevantes): (1{,}0404)^{5}\approx 1{,}21899442,
(1{,}0404)^{10} \approx (1{,}0404)^{5}\!{}^{2}\approx 1{,}48594684,
(1{,}0404)^{20} \approx \big((1{,}0404)^{10}\big)^{2}\approx 2{,}2080387.
  • Portanto o fator de desconto é (1+i)^{-n} = (1{,}0404)^{-20} \approx \frac{1}{2{,}2080387}\approx 0{,}452716.

Passo 7

Calcular o valor presente dos cupons (anuidade) usando a fórmula e os números obtidos.
  • A fórmula do valor presente da anuidade é PV_{\text{cupons}} = C\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Substituindo C=\$\,112{,}50, i=0{,}0404 e (1+i)^{-n}\approx 0{,}452716: PV_{\text{cupons}} = 112{,}50\cdot\frac{1-0{,}452716}{0{,}0404} =112{,}50\cdot\frac{0{,}547284}{0{,}0404}.
  • Calculemos a fração: \frac{0{,}547284}{0{,}0404}\approx 13{,}546633.
  • Então PV_{\text{cupons}}\approx 112{,}50\times 13{,}546633 \approx \$\,1.523{,}99.

Passo 8

Calcular o valor presente do resgate (principal) no final.
  • Fórmula: PV_{\text{resgate}} = M\cdot(1+i)^{-n}.
  • Substituindo M=\$\,5.000 e (1+i)^{-n}\approx 0{,}452716: PV_{\text{resgate}} = 5.000 \times 0{,}452716 \approx \$\,2.263{,}58.

Passo 9

Somar os valores presentes dos cupons e do resgate para obter o preço total do título hoje.
  • Soma: PV = PV_{\text{cupons}} + PV_{\text{resgate}} \approx 1.523{,}99 + 2.263{,}58 = \$\,3.787{,}57.
  • Arredondando para centavos, o preço justo hoje é aproximadamente \$\,3.787{,}58.

Resposta

\$\,3.787{,}58

Exercícios relacionados