Um engenheiro mecânico está considerando dois tipos de sensores de pressão para um sistema de vapor de baixa pressão. Os custos são apresentados a seguir. Com base em uma comparação do custo anual, a uma taxa de juros de 12% a.a., qual deles deve ser selecionado?

Passo 1

O enunciado pede que, com base numa comparação do custo anual a uma taxa de juros de 12\% a.a., se escolha qual dos dois sensores de pressão deve ser selecionado. Ou seja: comparar o custo anual equivalente de cada sensor e selecionar o de menor custo anual.
Informações relevantes que deveriam estar no enunciado (mas não foram fornecidas aqui):
  • custo inicial (preço) de cada sensor, por exemplo P_1 e P_2;
  • vida útil (número de anos) de cada sensor, por exemplo n_1 e n_2;
  • custo anual de operação/manutenção de cada sensor, por exemplo C_{om,1} e C_{om,2};
  • valor de sucata (salvage) ao final da vida útil de cada sensor, por exemplo S_1 e S_2 (se houver);
  • se há necessidade de substituições periódicas (ou vida útil diferente), ou outros custos descontínuos (instalação, treinamento, descarte).
    Sem esses números não dá para calcular numericamente o custo anual e, portanto, não é possível indicar qual sensor escolher.

Passo 2

Método escolhido (o que normalmente se usa em prova): comparar o custo anual equivalente (também chamado de custo anual uniforme equivalente, EUAC) de cada alternativa usando a taxa de juros dada. Racional: transformar todas as despesas e receitas associadas a um equipamento em um único valor anual equivalente; a alternativa com menor custo anual é a preferida.
Explicação intuitiva: em vez de comparar só preço, anualiza-se o investimento (transforma-se o custo de compra em parcelas anuais) e adiciona-se a isso o custo anual de operação, subtrai-se o efeito da sucata anualizada, etc. Assim tudo fica em unidades “R$ por ano” e dá para comparar diretamente.

Passo 3

Conceitos e fórmulas essenciais (passo-a-passo bem didático):
  1. Converter taxa percentual em decimal:
i = 12\% = 0,12.
Sempre usar i na forma decimal nas fórmulas.
  1. Fator de recuperação de capital (capital recovery factor, que converte um valor presente P em uma série anual equivalente A por n anos a taxa i):
\text{CRF}(i,n) \;=\; \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Aqui:
  • i é a taxa por período (aqui ano);
  • n é o número de períodos (anos);
  • \text{CRF}(i,n) é um número adimensional. Multiplicando P por esse fator obtém-se o equivalente anual A que, capitalizado ao longo de n anos à taxa i, tem valor presente P.
  1. Como anualizar um valor de sucata S que ocorre ao final de n anos:
  • primeiro traz-se a sucata ao valor presente: PV_{S} = \dfrac{S}{(1+i)^{n}};
  • depois converte-se esse PV_{S} em série anual usando a mesma \text{CRF}. Isso resulta na fórmula prática abaixo (benefício anual equivalente da sucata):
A_{salv} \;=\; S\,\frac{i}{(1+i)^{n}-1}.
(derivação: A_{salv}=PV_{S}\cdot\text{CRF} = S(1+i)^{-n}\cdot \dfrac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1} = S\,\dfrac{i}{(1+i)^{n}-1}.)

Passo 4

Fórmula final para o custo anual equivalente (EUAC) de um sensor (passo a passo com cada termo explicado):
  • Seja:
    • P = custo inicial do sensor (pagamento hoje, ou no momento 0);
    • n = vida útil em anos;
    • C_{om} = custo anual recorrente de operação/manutenção (já em R$/ano);
    • S = valor de sucata ao final de n anos (pode ser 0 se não houver).
  • O termo anualizado do investimento inicial é:
A_{cap} = P\cdot \text{CRF}(i,n) = P\cdot \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
  • O efeito anual da sucata é:
A_{salv} = S\cdot \frac{i}{(1+i)^{n}-1},
que é um benefício anual (ou seja, diminui o custo).
  • Portanto, o custo anual equivalente total é:
A = A_{cap} + C_{om} - A_{salv}.
Interpretação: pagar a compra equivale a pagar A_{cap} por ano; somam-se os custos anuais; subtrai-se o equivalente anual da sucata.

Passo 5

Tratamento de vidas diferentes e substituições:
  • Se os dois sensores tiverem vidas úteis diferentes, duas abordagens comuns:
    1. Encontrar um período comum de análise (por exemplo o mínimo múltiplo comum de n_1 e n_2) e comparar o valor presente total (ou o custo anual equivalente no período comum). Esse método exige considerar substituições (recompras) para completar o período comum.
    2. Usar custo anual equivalente para cada alternativa considerando substituições infinitas: calcular o EUAC diretamente para a alternativa como se fosse repetida indefinidamente (essa é equivalente a transformar os custos unitários por ciclo em uma série infinita e resulta na mesma expressão do EUAC se for aplicada corretamente).
  • Regra prática de prova: se as vidas são curtas e diferentes, recomenda-se ou (a) tomar o mínimo múltiplo comum e igualar horizontes, ou (b) calcular o EUAC de cada alternativa (com substituições) — ambos dão resposta correta se aplicados direito. Em contexto de prova geralmente pede-se EUAC por ciclo da vida.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar passo-a-passo de cálculo — NÃO são os dados do seu enunciado, porque esses não foram fornecidos):
  • Suponha hipoteticamente:
    • Sensor 1: P_1=1000, n_1=5, C_{om,1}=200, S_1=100.
    • Sensor 2: P_2=1500, n_2=10, C_{om,2}=150, S_2=200.
    • Taxa i=0,12.
  • Calcular (1+i)^{n} passo a passo:
    • (1+i)=1,12.
    • (1,12)^{5}\approx 1,763341683.
    • (1,12)^{10}\approx 3,107609.
  • Calcular \text{CRF}:
    • \text{CRF}(0,12,5)=\dfrac{0,12\cdot 1,763341683}{1,763341683-1}\approx 0,2773.
    • \text{CRF}(0,12,10)=\dfrac{0,12\cdot 3,107609}{3,107609-1}\approx 0,1769.
  • Anualizar os preços:
    • A_{cap,1}=1000\cdot 0,2773\approx 277{,}3.
    • A_{cap,2}=1500\cdot 0,1769\approx 265{,}35.
  • Anualizar as sucatas:
    • A_{salv,1}=100\cdot \dfrac{0,12}{1,763341683-1}\approx 15{,}73.
    • A_{salv,2}=200\cdot \dfrac{0,12}{3,107609-1}\approx 11{,}39.
  • Calcular custo anual total:
    • A_1 = 277{,}3 + 200 - 15{,}73 \approx 461{,}57.
    • A_2 = 265{,}35 + 150 - 11{,}39 \approx 404{,}0.
  • Conclusão do exemplo: com esses números hipotéticos, o Sensor 2 tem menor custo anual e seria escolhido. Reforçando: isso é só um exemplo didático.

Passo 7

Como você deve proceder na prova (checklist rápido):
  1. Liste para cada sensor: P,\;n,\;C_{om},\;S.
  2. Converta i=12\% em i=0,12.
  3. Calcule (1+i)^{n} e a \text{CRF}(i,n).
  4. Calcule A_{cap}=P\cdot\text{CRF}.
  5. Calcule A_{salv}=S\cdot\dfrac{i}{(1+i)^{n}-1}.
  6. Calcule A = A_{cap} + C_{om} - A_{salv}.
  7. Se vidas diferentes, trate substituições ou use período comum / EUAC por ciclo.
  8. Compare os A dos dois sensores; escolha o menor.
    Se empatar, use critérios secundários (confiabilidade, custo de falha, serviço).

Passo 8

Observações finais e incentivo:
  • Não há como dizer numericamente qual sensor escolher sem os dados de custo, vida útil e custos operacionais — esses números são essenciais.
  • Se você me enviar os valores (ou a tabela/imagem com os custos), eu faço o cálculo passo a passo exatamente como fiz no exemplo e te digo qual escolher.
  • Força aí: você já tem a receita completa para resolver isso na prova — siga a checklist do Passo 7 e dá para fazer rápido.

Resposta

Não é possível determinar qual sensor deve ser selecionado porque os dados de custos (preço inicial, vida útil, custos de operação/manutenção, valor de sucata etc.) não foram fornecidos.

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