Um engenheiro mecânico está considerando dois tipos de sensores de pressão para um sistema de vapor de baixa pressão. Os custos são apresentados a seguir. Com base em uma comparação do custo anual, a uma taxa de juros de 12% a.a., qual deles deve ser selecionado?
Passo 1
O enunciado pede que, com base numa comparação do custo anual a uma taxa de juros de
a.a., se escolha qual dos dois sensores de pressão deve ser selecionado. Ou seja: comparar o custo anual equivalente de cada sensor e selecionar o de menor custo anual.
Informações relevantes que deveriam estar no enunciado (mas não foram fornecidas aqui):
- custo inicial (preço) de cada sensor, por exemplo
e ; - vida útil (número de anos) de cada sensor, por exemplo
e ; - custo anual de operação/manutenção de cada sensor, por exemplo
e ; - valor de sucata (salvage) ao final da vida útil de cada sensor, por exemplo
e (se houver); - se há necessidade de substituições periódicas (ou vida útil diferente), ou outros custos descontínuos (instalação, treinamento, descarte).
Sem esses números não dá para calcular numericamente o custo anual e, portanto, não é possível indicar qual sensor escolher.
Passo 2
Método escolhido (o que normalmente se usa em prova): comparar o custo anual equivalente (também chamado de custo anual uniforme equivalente, EUAC) de cada alternativa usando a taxa de juros dada. Racional: transformar todas as despesas e receitas associadas a um equipamento em um único valor anual equivalente; a alternativa com menor custo anual é a preferida.
Explicação intuitiva: em vez de comparar só preço, anualiza-se o investimento (transforma-se o custo de compra em parcelas anuais) e adiciona-se a isso o custo anual de operação, subtrai-se o efeito da sucata anualizada, etc. Assim tudo fica em unidades “R$ por ano” e dá para comparar diretamente.
Passo 3
Conceitos e fórmulas essenciais (passo-a-passo bem didático):
- Converter taxa percentual em decimal:
Sempre usar
na forma decimal nas fórmulas.
- Fator de recuperação de capital (capital recovery factor, que converte um valor presente
em uma série anual equivalente por anos a taxa ):
Aqui:
-
é a taxa por período (aqui ano); -
é o número de períodos (anos); -
é um número adimensional. Multiplicando por esse fator obtém-se o equivalente anual que, capitalizado ao longo de anos à taxa , tem valor presente .
- Como anualizar um valor de sucata
que ocorre ao final de anos:
- primeiro traz-se a sucata ao valor presente:
; - depois converte-se esse
em série anual usando a mesma . Isso resulta na fórmula prática abaixo (benefício anual equivalente da sucata):
(derivação:
.)
Passo 4
Fórmula final para o custo anual equivalente (EUAC) de um sensor (passo a passo com cada termo explicado):
- Seja:
-
= custo inicial do sensor (pagamento hoje, ou no momento 0); -
= vida útil em anos; -
= custo anual recorrente de operação/manutenção (já em R$/ano); -
= valor de sucata ao final de anos (pode ser se não houver).
-
- O termo anualizado do investimento inicial é:
- O efeito anual da sucata é:
que é um benefício anual (ou seja, diminui o custo).
- Portanto, o custo anual equivalente total é:
Interpretação: pagar a compra equivale a pagar
por ano; somam-se os custos anuais; subtrai-se o equivalente anual da sucata.
Passo 5
Tratamento de vidas diferentes e substituições:
- Se os dois sensores tiverem vidas úteis diferentes, duas abordagens comuns:
- Encontrar um período comum de análise (por exemplo o mínimo múltiplo comum de
e ) e comparar o valor presente total (ou o custo anual equivalente no período comum). Esse método exige considerar substituições (recompras) para completar o período comum. - Usar custo anual equivalente para cada alternativa considerando substituições infinitas: calcular o EUAC diretamente para a alternativa como se fosse repetida indefinidamente (essa é equivalente a transformar os custos unitários por ciclo em uma série infinita e resulta na mesma expressão do EUAC se for aplicada corretamente).
- Encontrar um período comum de análise (por exemplo o mínimo múltiplo comum de
- Regra prática de prova: se as vidas são curtas e diferentes, recomenda-se ou (a) tomar o mínimo múltiplo comum e igualar horizontes, ou (b) calcular o EUAC de cada alternativa (com substituições) — ambos dão resposta correta se aplicados direito. Em contexto de prova geralmente pede-se EUAC por ciclo da vida.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar passo-a-passo de cálculo — NÃO são os dados do seu enunciado, porque esses não foram fornecidos):
- Suponha hipoteticamente:
- Sensor 1:
, , , . - Sensor 2:
, , , . - Taxa
.
- Sensor 1:
- Calcular
passo a passo: -
. -
-
.
-
- Calcular
: -
- Anualizar os preços:
-
- Anualizar as sucatas:
-
- Calcular custo anual total:
-
- Conclusão do exemplo: com esses números hipotéticos, o Sensor 2 tem menor custo anual e seria escolhido. Reforçando: isso é só um exemplo didático.
Passo 7
Como você deve proceder na prova (checklist rápido):
- Liste para cada sensor:
. - Converta
em . - Calcule
e a . - Calcule
. - Calcule
. - Calcule
. - Se vidas diferentes, trate substituições ou use período comum / EUAC por ciclo.
- Compare os
dos dois sensores; escolha o menor.
Se empatar, use critérios secundários (confiabilidade, custo de falha, serviço).
Passo 8
Observações finais e incentivo:
- Não há como dizer numericamente qual sensor escolher sem os dados de custo, vida útil e custos operacionais — esses números são essenciais.
- Se você me enviar os valores (ou a tabela/imagem com os custos), eu faço o cálculo passo a passo exatamente como fiz no exemplo e te digo qual escolher.
- Força aí: você já tem a receita completa para resolver isso na prova — siga a checklist do Passo 7 e dá para fazer rápido.
Resposta
Não é possível determinar qual sensor deve ser selecionado porque os dados de custos (preço inicial, vida útil, custos de operação/manutenção, valor de sucata etc.) não foram fornecidos.