Uma empresa contrata um financiamento no valor de
25.000
$8.600
9^{0}
14,65 %$ a.t. (Assaf Neto, 2012)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
- Valor do financiamento recebido no início:
. - Serão feitas
prestações trimestrais, iguais, de cada. - A primeira prestação será liquidada ao final do
mês. Como cada trimestre tem meses, o mês corresponde ao final do trimestre. - Ou seja, as prestações ocorrem nos trimestres
(se contarmos o momento do recebimento do empréstimo como tempo ). - A pergunta: determinar a TIR (taxa interna de retorno) dessa operação, expressa em taxa por trimestre (a.t.).
Passo 2
O que é TIR aqui e como modelar o problema? Explicando devagar:
- A TIR (taxa interna de retorno) é a taxa de desconto
por trimestre que torna o valor presente dos fluxos de caixa igual a zero quando tomamos o ponto de vista do financiador/investidor. Neste problema, a empresa recebeu no início (fluxo positivo para a empresa, negativo para o financiador) e pagará 6 parcelas de . - Tomando o fluxo de caixa do ponto de vista do financiador (quem emprestou o dinheiro): no tempo
há um desembolso , e nos tempos (trimestres) há entradas . - A TIR por trimestre
satisfaz a equação do valor presente:
Passo 3
Simplificar a soma usando a fórmula da soma geométrica:
- Defina
(fator de desconto por trimestre). Então a soma é
- Soma de uma progressão geométrica de
termos com primeiro termo e razão :
- Assim a equação do valor presente fica (em display):
Passo 4
Como resolver para
?
- A equação acima não é linear em
; não há fórmula fechada simples. O procedimento usual na prova é usar tentativa e erro (ou interpolação) procurando a taxa que faz os dois lados iguais. Vou mostrar tentativa com alguns palpites e depois interpolação/ajuste fino. - Defino a função diferença (que queremos zerar):
Se
significa que a taxa escolhida é baixa (o PV das prestações é maior que
); se
a taxa é alta.
Passo 5
Teste com uma taxa baixa para ver comportamento (palpite 10% a.t.):
-
. - Calcule
e :
- Então
- PV das prestações
. - Resultado:
. Como o PV é maior que , a taxa real é maior que .
Passo 6
Teste com uma taxa maior (palpite 15% a.t.):
-
. - Calcule
e :
- Então
- PV das prestações
. - Resultado:
. Agora o PV ficou menor que , então a taxa real está entre e . Como e , faremos uma aproximação entre esses valores.
Passo 7
Refinar a aproximação por tentativa/interpolação (buscando a taxa onde
).
- Já sabemos que
está perto de porque o PV em ficou um pouco menor que . Vamos testar (palpite informado pela resposta do livro): -
- Calcule
e (passo a passo):
- Agora o fator geométrico:
- PV das prestações
(aproximação). - Resultado:
, muito próximo de zero. A discrepância é de apenas alguns dólares, aceitável para uma TIR com duas casas decimais.
Passo 8
Conclusão e interpretação:
- A taxa que anula a diferença é aproximadamente
por trimestre. - Em notação percentual e com a precisão pedida:
ao trimestre (a.t.). - Em palavras: a TIR dessa operação de financiamento é
por trimestre — essa é a taxa que torna o valor presente das prestações (começando no final do trimestre) igual ao empréstimo de .