Uma empresa contrata um financiamento no valor de \ 25.000 para ser pago em 6 prestações trimestrais, iguais e sucessivas, no valor deçõ$8.600 cada. Sabe-se que a primeira prestação será liquidada ao final doçãá9^{0} mês (dois trimestres de carência). Determine a TIR dessa operação de financiamento. R.:êêçã14,65 %$ a.t. (Assaf Neto, 2012)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma):
  • Valor do financiamento recebido no início: \$ 25.000.
  • Serão feitas 6 prestações trimestrais, iguais, de \$ 8.600 cada.
  • A primeira prestação será liquidada ao final do 9^{\circ} mês. Como cada trimestre tem 3 meses, o 9^{\circ} mês corresponde ao final do 3^{\circ} trimestre.
  • Ou seja, as prestações ocorrem nos trimestres 3,4,5,6,7,8 (se contarmos o momento do recebimento do empréstimo como tempo 0).
  • A pergunta: determinar a TIR (taxa interna de retorno) dessa operação, expressa em taxa por trimestre (a.t.).

Passo 2

O que é TIR aqui e como modelar o problema? Explicando devagar:
  • A TIR (taxa interna de retorno) é a taxa de desconto \,i por trimestre que torna o valor presente dos fluxos de caixa igual a zero quando tomamos o ponto de vista do financiador/investidor. Neste problema, a empresa recebeu \$25.000 no início (fluxo positivo para a empresa, negativo para o financiador) e pagará 6 parcelas de \$8.600.
  • Tomando o fluxo de caixa do ponto de vista do financiador (quem emprestou o dinheiro): no tempo 0 há um desembolso -\$25.000, e nos tempos t=3,4,5,6,7,8 (trimestres) há entradas +\$8.600.
  • A TIR por trimestre i satisfaz a equação do valor presente:
-\;25.000+\sum_{k=3}^{8}\frac{8.600}{(1+i)^{k}}=0.

Passo 3

Simplificar a soma usando a fórmula da soma geométrica:
  • Defina v=\dfrac{1}{1+i} (fator de desconto por trimestre). Então a soma é
8.600\,(v^{3}+v^{4}+v^{5}+v^{6}+v^{7}+v^{8}).
  • Soma de uma progressão geométrica de 6 termos com primeiro termo v^{3} e razão v:
v^{3}+v^{4}+\dots+v^{8}=v^{3}\,\frac{1-v^{6}}{1-v}.
  • Assim a equação do valor presente fica (em display):
25.000 = 8.600\;v^{3}\,\frac{1-v^{6}}{1-v}, \qquad\text{onde}\quad v=\frac{1}{1+i}.

Passo 4

Como resolver para i?
  • A equação acima não é linear em i; não há fórmula fechada simples. O procedimento usual na prova é usar tentativa e erro (ou interpolação) procurando a taxa i que faz os dois lados iguais. Vou mostrar tentativa com alguns palpites e depois interpolação/ajuste fino.
  • Defino a função diferença (que queremos zerar):
f(i)=8.600\;v^{3}\,\frac{1-v^{6}}{1-v}-25.000, \qquad v=\frac{1}{1+i}.
Se f(i)>0 significa que a taxa escolhida é baixa (o PV das prestações é maior que \$25.000); se f(i)<0 a taxa é alta.

Passo 5

Teste com uma taxa baixa para ver comportamento (palpite 10% a.t.):
  • i=0,10\Rightarrow 1+i=1,10\Rightarrow v=\dfrac{1}{1,10}=0,909090909.
  • Calcule v^{3} e v^{6}:
v^{3}=0,9090909^{3}\approx 0,7513,\qquad v^{6}\approx 0,5645.
  • Então
v^{3}\frac{1-v^{6}}{1-v}=0,7513\cdot\frac{1-0,5645}{1-0,9090909} =0,7513\cdot\frac{0,4355}{0,0909091}\approx 3,599.
  • PV das prestações =8.600\cdot 3,599\approx 30.952.
  • Resultado: f(0,10)\approx 30.952-25.000=5.952>0. Como o PV é maior que \$25.000, a taxa real é maior que 10\%.

Passo 6

Teste com uma taxa maior (palpite 15% a.t.):
  • i=0,15\Rightarrow 1+i=1,15\Rightarrow v=\dfrac{1}{1,15}\approx 0,8695652.
  • Calcule v^{3} e v^{6}:
v^{3}\approx 0,8695652^{3}\approx 0,6572,\qquad v^{6}\approx 0,4319.
  • Então
v^{3}\frac{1-v^{6}}{1-v}=0,6572\cdot\frac{1-0,4319}{1-0,8695652} =0,6572\cdot\frac{0,5681}{0,1304348}\approx 2,863.
  • PV das prestações =8.600\cdot 2,863\approx 24.624.
  • Resultado: f(0,15)\approx 24.624-25.000=-376<0. Agora o PV ficou menor que \$25.000, então a taxa real está entre 10\% e 15\%. Como f(0,10)>0 e f(0,15)<0, faremos uma aproximação entre esses valores.

Passo 7

Refinar a aproximação por tentativa/interpolação (buscando a taxa onde PV\approx 25.000).
  • Já sabemos que i está perto de 15\% porque o PV em 15\% ficou um pouco menor que 25.000. Vamos testar i=0,1465 (palpite informado pela resposta do livro):
  • i=0,1465\Rightarrow 1+i=1,1465\Rightarrow v=\dfrac{1}{1,1465}\approx 0,8723082.
  • Calcule v^{3} e v^{6} (passo a passo):
v^{2}\approx 0,8723082^{2}\approx 0,76092,\qquad v^{3}=v^{2}\cdot v\approx 0,76092\cdot 0,8723082\approx 0,6636.
v^{6}=(v^{3})^{2}\approx 0,6636^{2}\approx 0,4404.
  • Agora o fator geométrico:
v^{3}\frac{1-v^{6}}{1-v} \approx 0,6636\cdot\frac{1-0,4404}{1-0,8723082} =0,6636\cdot\frac{0,5596}{0,1276918}\approx 2,9077.
  • PV das prestações =8.600\cdot 2,9077\approx 25.006 (aproximação).
  • Resultado: f(0,1465)\approx 25.006-25.000\approx 6, muito próximo de zero. A discrepância é de apenas alguns dólares, aceitável para uma TIR com duas casas decimais.

Passo 8

Conclusão e interpretação:
  • A taxa que anula a diferença é aproximadamente i\approx 0,1465 por trimestre.
  • Em notação percentual e com a precisão pedida: \;14,65\% ao trimestre (a.t.).
  • Em palavras: a TIR dessa operação de financiamento é 14,65\% por trimestre — essa é a taxa que torna o valor presente das 6 prestações (começando no final do 3^{\circ} trimestre) igual ao empréstimo de \$25.000.

Resposta

14,65\% a.t.

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