Um comprador de um imóvel não pode pagar mais do que R por mês para o financiamento de sua casa própria. Suponha que a taxa de juros é de por mês para o financiamento de sua casa própria Suponha que a taxa de juros é de ao ano e que o financiamento é de 20 anos. Suponha que os juros são compostos continuamente e que os pagamentos são feitos continuamente.
a. Determine o empréstimo máximo que esse comprador pode pedir.
b. Determine os juros totais pagos durante o empréstimo.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor máximo do empréstimo que um comprador consegue pegar se paga continuamente R$ 800 por mês, numa taxa de juros continuamente composta de 9% ao ano, num prazo de 20 anos. O conteúdo é avaliação de anuidade contínua (amortização contínua), e vamos precisar usar a fórmula do valor presente de pagamentos contínuos com taxa constante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar tudo em unidades anuais. A prestação contínua mensal de R$ 800 equivale a uma taxa contínua anual de c = 800·12 = R$ 9 600 por ano. A taxa de juros é r = 0{,}09 ao ano, e o prazo total é T = 20 anos.

Passo 3

Para o valor presente de uma anuidade contínua, usamos a fórmula
PV = integral0^T c,e^-rt,dt = c1 - e^-rTr
Substituindo c = 9 600, r = 0{,}09 e T = 20, temos
PV = 9600cdot1 - e^-0,09cdot200,09 = 9600cdot1 - e^-1,80,09
Calculando e^{-1{,}8} \approx 0{,}1653, obtemos
PV approx 9600cdot1 - 0,16530,09 = 9600cdot0,83470,09 approx R$,89044

Passo 4

O total pago em 20 anos é simplesmente a taxa contínua vezes o tempo: 9 600·20 = R$ 192 000. Os juros totais pagos são a diferença entre o total pago e o principal recebido:
192000 Os juros totais pagos são a diferença entre o total pago e o principal recebido:

Resposta

a) Empréstimo máximo ≈ R$ 89 044
b) Juros totais pagos ≈ R$ 102 956

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