Compressão isotérmica de gás ideal: avalie o trabalho
w=-\int_{v_{1}}^{v_{2}} p d v
e indique as hipóteses necessárias para que este resultado seja válido.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
w = -\int_{v_{1}}^{v_{2}} p\,dv
para uma compressão isotérmica de um gás ideal. Vamos usar a lei do gás ideal e assumir um processo reversível e isotérmico (temperatura constante).

Passo 2

Para um gás ideal em temperatura constante T, a pressão satisfaz
p\,v = nR T
ou seja
p = \frac{nR T}{v}.

Passo 3

Substituindo p na integral do trabalho, obtemos
w = -\int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{nR T}{v}\,dv = -nR T \int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{1}{v}\,dv.

Passo 4

O integral logarítmico dá
\int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{1}{v}\,dv = \ln v\Big|_{v_{1}}^{v_{2}} = \ln(v_{2}) - \ln(v_{1}),
então
w = -\,nR T\bigl[\ln(v_{2}) - \ln(v_{1})\bigr] = nR T\,\ln\!\Bigl(\frac{v_{1}}{v_{2}}\Bigr).

Passo 5

As hipóteses necessárias para esse resultado são:
  1. O gás se comporta como gás ideal p\,v = nR T.
  2. O processo é isotérmico ( T constante).
  3. A transformação é reversível (quase–estática), garantindo que p em cada instante é dado por nRT/v.
  4. Não há outras formas de trabalho além do trabalho de expansão/compressão p\,dv.

Resposta

w = nR T \ln\!\Bigl(\frac{v_{1}}{v_{2}}\Bigr),
válido para um gás ideal em compressão isotérmica e reversível.

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