Para o gás ideal p(m, V, T)=\frac{m R T}{V} :
Encontre d p em termos de d m, d V, d T.

Passo 1

O enunciado dá a pressão de um gás ideal como função de três variáveis
p(m,V,T)=\frac{mRT}{V}
e pede o diferencial total dp em função de dm, dV e dT. Vamos usar a fórmula do diferencial total para funções de várias variáveis:
dp = \frac{\partial p}{\partial m}\,dm + \frac{\partial p}{\partial V}\,dV + \frac{\partial p}{\partial T}\,dT.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial p}{\partial m} mantendo V e T constantes. Como
p = \frac{RT}{V}\,m,
temos
\frac{\partial p}{\partial m} = \frac{RT}{V}.
Logo a contribuição ao diferencial é
\frac{RT}{V}\,dm.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial p}{\partial V} mantendo m e T constantes. Escrevendo p = mRT\cdot V^{-1},
\frac{\partial p}{\partial V} = mRT \cdot \frac{d}{dV}\bigl(V^{-1}\bigr) = -\,mRT\,V^{-2}.
Assim a contribuição é
-\,\frac{mRT}{V^2}\,dV.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial p}{\partial T} mantendo m e V constantes. Da forma
p = \frac{mR}{V}\,T,
segue
\frac{\partial p}{\partial T} = \frac{mR}{V},
e a contribuição é
\frac{mR}{V}\,dT.

Passo 5

Somando as três parcelas do diferencial total, obtemos
dp = \frac{RT}{V}\,dm \;-\;\frac{mRT}{V^2}\,dV \;+\;\frac{mR}{V}\,dT.

Resposta

dp = \frac{RT}{V}\,dm \;-\;\frac{mRT}{V^2}\,dV \;+\;\frac{mR}{V}\,dT.

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