A compressibilidade da água do mar possui um efeito significativo na variação da massa específica e da pressão em função da profundidade. A massa específica no nível do mar (\mathrm{h}=0) é de 1020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine a pressão e a massa específica à uma profundidade de 10000 m considerando massa especifica constante

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão e a massa específica à profundidade de 10000\\ \mathrm{m} assumindo que a massa específica é constante. Informações dadas e suposições que vamos usar:
  • Massa específica ao nível do mar: \rho_0 = 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Profundidade: h = 10000\\ \mathrm{m}.
  • Vamos assumir pressão atmosférica ao nível do mar: p_0 = 101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Hipótese do enunciado: massa específica constante (ou seja, água incompressível para este cálculo).
Perguntas explícitas:
  • Qual é a pressão p a 10000\\ \mathrm{m} de profundidade?
  • Qual é a massa específica \rho a 10000\\ \mathrm{m} de profundidade (sob a hipótese de constância)?

Passo 2

Conceito básico (aula rápida): pressão hidrostática em um fluido em repouso.
  • Em uma coluna de fluido, ao descer uma pequena distância dh (no sentido positivo para baixo), a pressão aumenta devido ao peso da camada de fluido acima.
  • A relação diferencial é
\frac{dp}{dh}=\rho g,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • h é a profundidade medida para baixo (em \mathrm{m}),
  • \rho é a massa específica do fluido (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
Integramos essa equação entre a superfície ( h=0, p=p_0) e a profundidade h:
p = p_0 + \rho g h.
Esta é a fórmula que vamos usar. Explicação das variáveis repetida para deixar claro: \rho é aqui constante por hipótese; se \rho dependesse de h teríamos que integrar com \rho(h).

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados fornecidos. Primeiro calculemos o termo \rho g h.
Calculemos g h:
g h = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 10000\\ \mathrm{m} = 98100\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Agora multiplique por \rho:
\rho g h = 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \times 98100\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Façamos a conta passo a passo (sem calculadora, por decomposição):
1020 \times 98100 = 1020 \times (1000 \times 98{,}1) = \text{(ou calcule direto)}.
Mais direto, decompondo:
98100 \times 1000 = 98\,100\,000,
98100 \times 20 = 1\,962\,000,
98100 \times 1020 = 98\,100\,000 + 1\,962\,000 = 100\,062\,000.
Portanto
\rho g h = 100\,062\,000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Somamos a pressão atmosférica de superfície:
p = p_0 + \rho g h = 101325\\ \mathrm{Pa} + 100\,062\,000\\ \mathrm{Pa}.
Somando:
p = 100\,163\,325\\ \mathrm{Pa}.
Para interpretar melhor, convertemos para unidades mais amigáveis:
  • Em megapascais:
p \approx 100{,}163325\\ \mathrm{MPa} \approx 100{,}16\\ \mathrm{MPa}.
(usar vírgula como separador decimal, portanto 100{,}16\\ \mathrm{MPa}.)
  • Em atmosferas ( 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}):
\frac{p}{101325}\approx 988{,}54\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

Agora a massa específica à profundidade dada, sob a hipótese do enunciado (massa específica constante):
\rho(h)=\rho_0=1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Comentário rápido e empático: na vida real a água salgada se comprime um pouco a pressões tão altas e a massa específica aumenta ligeiramente, mas o enunciado pediu explicitamente considerar \rho constante — então deixamos \rho igual a 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Resposta

p = 100\,163\,325\\ \mathrm{Pa} \approx 100{,}16\\ \mathrm{MPa}
\rho = 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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