Exerc. 9) Um rotor de bomba centrífuga possui as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada de 150[\mathrm{~mm}], altura da pá na entrada de 75[\mathrm{~mm}] e ângulo construtivo da pá na entrada igual a 20^{\circ}. Na saída, o diâmetro é de 300[\mathrm{~mm}], a altura da pá é 50[\mathrm{~mm}] e o ângulo construtivo é de 25^{\circ}. A bomba possui ainda rotação de 1450[\mathrm{rpm}]. Sabendo que o fluido bombeado é água à temperatura ambiente, determine a ) a altura teórica ideal e a respectiva potência e; b ) a altura de carga teórica e sua respectiva potência, considerando que a bomba possui 7 pás.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (resumidos):\n
Diâmetro na entrada: D_1 = 0,15\\ \mathrm{m}.\n
Altura da pá na entrada: b_1 = 0,075\\ \mathrm{m}.\n
Ângulo construtivo da pá na entrada: \beta_1 = 20^\circ.\n
Diâmetro na saída: D_2 = 0,30\\ \mathrm{m}.\n
Altura da pá na saída: b_2 = 0,050\\ \mathrm{m}.\n
Ângulo construtivo da pá na saída: \beta_2 = 25^\circ.\n
Rotação: n = 1450\\ \mathrm{rpm}.\n
Fluido: água à temperatura ambiente (usar \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).\n
Número de pás: z = 7.\n
O que o enunciado pede:\n
(a) a altura teórica ideal (isto é, a altura dada pela equação de Euler sem correções) e a potência correspondente;\n
(b) a altura de carga teórica considerando o efeito de deslizamento (slip) por ter 7 pás, e a potência correspondente.\n

Passo 2

Escolha do método e hipóteses necessárias (explicitadas):\n
  • Usaremos a equação de Euler para máquinas hidráulicas, que relaciona o salto de energia por unidade de massa ao produto da velocidade periférica pelo componente tangencial da velocidade absoluta (whirl) nas seções 1 e 2.\n
  • Hipótese prática comum e assumida aqui: não há pré-giro (no prewhirl) na entrada, ou seja, o componente tangencial absoluto na entrada é nulo: V_{u1}=0. Isso é típico quando a sucção é axial e sem dispositivos de pré-vórtice.\n
  • Usaremos os triângulos de velocidade nas seções para relacionar a velocidade meridional (ou axial/radial) V_m, a velocidade periférica U e os ângulos das pás \beta.\n
  • Para a correção de deslizamento (item b) usaremos uma expressão empírica (fórmula de Stodola) para o fator de slip \sigma:
\sigma = 1 - \frac{\pi}{z}\sin\!\left(\frac{\pi}{z}\right).
Essa é uma fórmula empírica razoável para estimar a perda de whirl devido ao número finito de pás; toma-se porque o enunciado pede considerar o número de pás e não nos deu outra fórmula específica.\n

Passo 3

Equações principais e definição de variáveis (aulas curtas sobre conceitos):\n
  • Velocidade periférica na roda (linear) em uma seção de raio r e rotação n: \omega = 2\pi n/60 e U = \omega r. Substituindo r = D/2 obtemos, de forma conveniente,
U = \frac{\pi D n}{60}.
Aqui U tem unidade \mathrm{m/s}, D em \mathrm{m} e n em \mathrm{rpm}.\n
  • Área de escoamento meridional na seção circular do anel entre raio r e altura de pá b: a área aproximada para o escoamento entre duas faces cilindricas é
A = 2\pi r b.
  • Continuidade (vazão volumétrica Q): Q = V_m A, onde V_m é a componente meridional (radial/axial) da velocidade média através da seção.\n
  • Triângulo de velocidade: no referencial absoluto, a componente tangencial da velocidade é V_u. A velocidade relativa W à pá tem componente tangencial W_u = U - V_u. A relação entre V_m, W_u e o ângulo da pá \beta (ângulo entre W e a tangente) é
\tan\beta = \frac{V_m}{W_u} = \frac{V_m}{U - V_u}.
No ponto de entrada tomamos V_{u1}=0, então W_{u1}=U_1 e \tan\beta_1 = V_{m1}/U_1.\n
  • Equação de Euler (altura específico/unidade de gravidade):
H = \frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g}.
Com V_{u1}=0 ficamos com H = \dfrac{U_2 V_{u2}}{g}.\n
  • Potência hidráulica associada (teórica) fornecida à água:
P = \rho g Q H.

Passo 4

Cálculo das velocidades periféricas U_1 e U_2:\n
Usando \;U=\dfrac{\pi D n}{60}:\n
U_1 = \frac{\pi D_1 n}{60} = \frac{\pi \cdot 0{,}15 \cdot 1450}{60} = 11{,}39\\ \mathrm{m/s}.
U_2 = \frac{\pi D_2 n}{60} = \frac{\pi \cdot 0{,}30 \cdot 1450}{60} = 22{,}78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar V_{m1}, área A_1 e vazão Q usando o triângulo de velocidade na entrada (com V_{u1}=0):\n
Da relação \tan\beta_1 = V_{m1}/U_1 temos
V_{m1} = U_1 \tan\beta_1.
Calculando:
\tan 20^\circ \approx 0{,}36397,
V_{m1} = 11{,}39 \times 0{,}36397 = 4{,}15\\ \mathrm{m/s}.
Área da seção 1:
A_1 = 2\pi r_1 b_1 = 2\pi \cdot 0{,}075 \cdot 0{,}075 = 0{,}03534\\ \mathrm{m^2}.
Vazão:
Q = V_{m1} A_1 = 4{,}15 \times 0{,}03534 = 0{,}147\\ \mathrm{m^3/s}.
(essas contas são obtidas multiplicando e arredondando a 3 algarismos significativos)

Passo 6

Determinar V_{m2} pela continuidade e então V_{u2} a partir do triângulo de velocidade na saída:\n
Área na saída:
A_2 = 2\pi r_2 b_2 = 2\pi \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}05 = 0{,}04712\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade meridional na saída:
V_{m2} = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}147}{0{,}04712} = 3{,}11\\ \mathrm{m/s}.
Agora usar \tan\beta_2 = \dfrac{V_{m2}}{U_2 - V_{u2}}. Isolando V_{u2}:
U_2 - V_{u2} = \frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}\quad\Rightarrow\quad V_{u2} = U_2 - \frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}.
Calcule:
\tan 25^\circ \approx 0{,}46631,
\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2} = \frac{3{,}11}{0{,}46631} = 6{,}67\\ \mathrm{m/s},
V_{u2} = 22{,}78 - 6{,}67 = 16{,}10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a altura teórica ideal H_{\text{ideal}} (equação de Euler sem slip) e a potência correspondente:\n
Altura ideal:
H_{\text{ideal}} = \frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g} = \frac{U_2 V_{u2}}{g},
pois V_{u1}=0. Substituindo:
U_2 V_{u2} = 22{,}78 \times 16{,}10 = 366{,}8\\ \mathrm{m^2/s^2},
H_{\text{ideal}} = \frac{366{,}8}{9{,}81} = 37{,}38\\ \mathrm{m}.
Potência hidráulica ideal:
P_{\text{ideal}} = \rho g Q H_{\text{ideal}} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}147 \times 37{,}38.
Calculando:
P_{\text{ideal}} \approx 53{,}7\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Cálculo do fator de slip \sigma (fórmula escolhida) e interpretação:\n
Usamos a expressão empírica de Stodola:
\sigma = 1 - \frac{\pi}{z}\sin\!\left(\frac{\pi}{z}\right).
Para z=7:
\frac{\pi}{7} \approx 0{,}4488,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 0{,}4339,
\frac{\pi}{7}\sin\!\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 0{,}1947,
\sigma \approx 1 - 0{,}1947 = 0{,}8053\approx 0{,}805.
Interpretação: \sigma<1 significa que o componente tangencial efetivo que a água recebe na saída é menor que o valor ideal calculado a partir do triângulo de velocidade por causa do deslizamento entre o fluido e as pás (efeito das pás finitas e formação de vórtices).

Passo 9

Calcular a altura de carga teórica com slip e a potência correspondente:\n
Velocidade tangencial efetiva na saída:
V_{u2,\mathrm{eff}} = \sigma V_{u2} = 0{,}805 \times 16{,}10 = 12{,}97\\ \mathrm{m/s}.
Altura com slip:
H_{\text{slip}} = \frac{U_2 V_{u2,\mathrm{eff}}}{g} = \frac{22{,}78 \times 12{,}97}{9{,}81} = 30{,}12\\ \mathrm{m}.
Potência correspondente:
P_{\text{slip}} = \rho g Q H_{\text{slip}} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}147 \times 30{,}12 \approx 43{,}3\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) H_{\text{ideal}} = 37{,}38\\ \mathrm{m}, P_{\text{ideal}} = 53{,}7\\ \mathrm{kW}.\n
(b) H_{\text{teórica (com\;slip)}} = 30{,}12\\ \mathrm{m}ó, P_{\text{teórica (com\;slip)}} = 43{,}3\\ \mathrm{kW}ó.

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