Um compressor de simples estágio, ação dupla, é utilizado para produzir 14 \mathrm{~m}^{3} de ar por minuto, na condição de 1.013 bar e 15 { }^{\circ} C. A pressão de descarga é de 7 bar a velocidade de 300 rpm . Assuma que a folga (espaço morto) é de 5 \% do volume deslocado. O coeficiente politrópico da compressão e da expansão é 1.3. Calcule o volume deslocado pelo cilindro, a temperatura de descarga e a potência termodinâmica.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas (volume deslocado, temperatura de descarga e potência termodinâmica):
  • Vazão aspirada (condição de sucção): Q=14\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
  • Pressão de sucção: p_1=1{,}013\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura de sucção: T_1=15^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de descarga: p_2=7\\ \mathrm{bar}.
  • Velocidade: N=300\\ \mathrm{rpm}.
  • Compressor: estágio simples, ação dupla (ou seja, duas admissões por rotação por cilindro).
  • Folga (clearance) = C=5\% =0{,}05 (fração do volume varrido).
  • Coeficiente politrópico (compressão e expansão): n=1{,}3.
O que se pede:
  1. Volume varrido (deslocado) do cilindro por curso, V_s.
  2. Temperatura de descarga T_2 (em K e ºC).
  3. Potência termodinâmica (potência indicada) necessária para a compressão.
Observação importante: vou usar a fórmula clássica de eficiência volumétrica com folga e tratar a compressão como politrópica (ideal de gás perfeito), explicando cada passo e fórmula.

Passo 2

Cálculo do volume varrido V_s usando a eficiência volumétrica com folga.
  1. Conceito e fórmula da eficiência volumétrica com folga:
  • A folga (clearance) retém um volume V_c = C\,V_s no topo do cilindro. Esse volume, ao final da descarga (pressão p_2), reexpande-se politrópicamente até a pressão de sucção p_1. O volume reexpandido é
V_e = V_c\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}.
  • O volume efetivamente aspirado por curso (volume útil de admissão) é
V_{\text{adm}} = V_s + V_c - V_e = V_s\left(1 + C - C\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}\right).
  • Definimos a eficiência volumétrica \eta_v como
\eta_v = \frac{V_{\text{adm}}}{V_s} = 1 + C - C\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}.
Aqui:
  • C é a razão de folga (clearance ratio),
  • n é o expoente politrópico (da expansão do gás reatrapado),
  • p_1 e p_2 são as pressões de sucção e descarga respectivamente.
  1. Calculemos os termos numéricos:
  • Primeiro, passo as pressões para razão (sem unidades, usando as mesmas unidades):
\frac{p_2}{p_1}=\frac{7}{1{,}013}\approx 6{,}909.
  • Calculo a potência fracionária:
\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n} = 6{,}909^{1/1{,}3} \approx 4{,}423.
  • Logo a eficiência volumétrica:
\eta_v = 1 + 0{,}05 - 0{,}05\cdot 4{,}423 = 1{,}05 - 0{,}22115 \approx 0{,}82885.
  1. Relacionando vazão com volume por rotação:
  • Compressor é de ação dupla: há duas admissões por rotação por cilindro. Assim, o volume aspirado por rotação efetiva é 2 V_s \eta_v.
  • A vazão volumétrica por minuto é dada por:
Q = (\text{admissões por rotação})\times V_s \eta_v \times N = 2 V_s \eta_v N,õçã
onde N está em rotações por minuto e Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
  • Despejando para V_s:
V_s = \frac{Q}{2\,\eta_v\,N}.
  1. Substituímos os números (mantendo Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{min} e N em \mathrm{rpm}):
V_s = \frac{14}{2\cdot 0{,}82885 \cdot 300} = \frac{14}{497{,}31}\approx 0{,}02815\\ \mathrm{m}^3.
  • Em litros: V_s \approx 28{,}15\\ \mathrm{L}.
Interpretação: cada curso varre cerca de 0{,}02815\\ \mathrm{m}^3 de volume. Como o compressor é de ação dupla, por rotação o cilindro desloca duas vezes esse volume útil (antes de considerar \eta_v).

Passo 3

Cálculo da temperatura de descarga T_2 (processo politrópico).
  1. Fórmula politrópica para temperatura:
    Para um processo politrópico de compressão/expansão de gás ideal, a relação entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}},
onde:
  • T_1 é a temperatura absoluta na sucção (em K),
  • T_2 é a temperatura absoluta de descarga (em K),
  • n é o expoente politrópico,
  • p_1 e p_2 são as pressões de sucção e descarga.
  1. Converta T_1 para Kelvin:
T_1 = 15^\circ\mathrm{C} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcule o expoente:
\frac{n-1}{n} = \frac{1{,}3 - 1}{1{,}3} = \frac{0{,}3}{1{,}3} \approx 0{,}230769.
  1. Calcule T_2:
T_2 = 288{,}15 \cdot 6{,}909^{0{,}230769} \approx 288{,}15 \cdot 1{,}563 \approx 450{,}5\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2 = 450{,}5 - 273{,}15 \approx 177{,}4^\circ\mathrm{C}.
Comentário pedagógico: essa fórmula vem de combinar pV^n= const com a equação dos gases ideais pV = R T e eliminando volumes; o expoente (n-1)/n aparece porque temperatura escala com p^{(n-1)/n} numa transformação politrópica.

Passo 4

Cálculo da potência termodinâmica (potência indicada) necessária.
  1. Fórmula usada e justificativa:
  • Para compressão politrópica de uma massa de gás que entra nas condições de sucção, a energia por unidade de massa é
w = \frac{n}{n-1} R T_1\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} - 1\right].
Multiplicando pela vazão mássica \dot{m} obtém-se a potência. Usando a equação dos gases ideais, \dot{m} R T_1 = p_1 Q (onde Q é a vazão volumétrica nas condições de sucção), obtemos a forma conveniente:
\dot{W} = \frac{n}{n-1}\,p_1\,Q\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} - 1\right].
  • Observação: essa expressão calcula a potência associada à compressão do gás que efetivamente entra (baseada em Q). A folga afeta a eficiência volumétrica e, por consequência, V_s calculado no passo anterior; porém a expressão acima dá a potência termodinâmica associada ao fluxo aspirado Q, que é o que normalmente se pede como potência de compressão (potência indicada). É a forma prática e muito usada em exercícios.
  1. Converter unidades e calcular:
  • Vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
Q = \frac{14}{60} = 0{,}23333\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Pressão de sucção em Pa:
p_1 = 1{,}013\\ \mathrm{bar} = 1{,}013\times 10^5\\ \mathrm{Pa}=101300\\ \mathrm{Pa}.
  • Já calculamos \left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}\approx 1{,}563.
  • Fator \dfrac{n}{n-1}=\dfrac{1{,}3}{0{,}3}=4{,}33333.
  1. Substituindo:
\dot{W} = 4{,}33333 \times 101300 \times 0{,}23333 \times (1{,}563 - 1).
Calcule passo a passo:
  • p_1 Q \approx 101300 \times 0{,}23333 \approx 23636{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{n}{n-1}: 23636{,}7 \times 4{,}33333 \approx 102448{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Multiplicando por (1{,}563 - 1)=0{,}563: 102448{,}9 \times 0{,}563 \approx 57{,}70\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Resultado:
\dot{W} \approx 57{,}7\\ \mathrm{kW}.
Comentário de incentivo: pronto — o número faz sentido (ordem de dezenas de kW para um compressor deste porte). Se você for fazer essa conta na prova, memorize a forma \dot{W}=\dfrac{n}{n-1}p_1 Q\big[(p_2/p_1)^{(n-1)/n}-1\big] e calcule passo a passo.

Resposta

V_s = 0{,}02815\\ \mathrm{m}^3 (ou 28{,}15\\ \mathrm{L})
T_2 = 450{,}5\\ \mathrm{K} = 177{,}4^\circ\mathrm{C}
\dot{W} \approx 57{,}7\\ \mathrm{kW}

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