Comprime-se/expande-se vapor d’água saturado, mantendo-se constante a sua entropia, da pressão de 10 bar até a temperatura de 340^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a pressão final.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se a pressão final p_2 quando se leva vapor d’água saturado, mantendo a entropia constante (processo isentrópico), partindo de p_1=10\\ \mathrm{bar} até que a sua temperatura seja 340^\circ\mathrm{C}.
  • Informações dadas:
    • Pressão inicial: p_1=10\\ \mathrm{bar}.
    • Estado inicial: vapor saturado à pressão p_1 (logo a temperatura inicial é a temperatura de saturação correspondente a 10\\ \mathrm{bar}).
    • Temperatura final imposta: T_2=340^\circ\mathrm{C}.
    • Processo: isentrópico ( s_2=s_1).
Observação numérica que pegamos da tabela de saturação: a temperatura de saturação a 10\\ \mathrm{bar} é \,T_{1,\mathrm{sat}}=179{,}88^\circ\mathrm{C}. Essa será a temperatura inicial do vapor saturado.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Vapor saturado significa que, no estado inicial, a água está na condição de vapor exatamente sobre a curva de saturação: sua temperatura e pressão satisfazem a relação de saturação. Assim \,T_1=T_{sat}(p_1)=179{,}88^\circ\mathrm{C}.
  • Como o processo é isentrópico, a entropia específica não muda: \,s_2=s_1.
  • Para vapor superaquecido (ou seja, quando não estamos exatamente na curva de saturação), uma boa aproximação prática é tratá-lo como gás ideal com calor específico a pressão constante c_p aproximadamente constante no intervalo de temperaturas considerado. Para um gás ideal vale a relação de variação de entropia: s_2-s_1 = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right),onde:
    • s é a entropia específica (kJ·kg{-1}·K{-1}),
    • c_p é o calor específico a pressão constante do vapor (kJ·kg{-1}·K{-1}),
    • R é a constante específica do vapor d’água ( R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta (K),
    • p é a pressão (mesmas unidades relativas; usaremos bar na razão porque aparecerá como razão \tfrac{p_2}{p_1}).
Explicando a fórmula em palavras: a entropia de um gás ideal muda com a temperatura (termo envolvendo c_p) e com a pressão (termo envolvendo R); para manter a entropia constante, um aumento de temperatura exige um aumento de pressão apropriado para compensar.

Passo 3

Aplicando a condição isentrópica (s_2=s_1) à fórmula:
  • Como s_2-s_1=0, tem-se 0 = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
  • Isolando \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right): R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)
\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \frac{c_p}{R}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
  • Exponenciando, p_2 = p_1 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\,c_p/R}.
Portanto, para obter p_2 precisamos de T_1 (em K), T_2 (em K), c_p e R.

Passo 4

Valores numéricos e escolha de c_p (justificando a aproximação):
  • Converter temperaturas para Kelvin: T_1 = 179{,}88^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 453{,}03\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 340{,}00^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 613{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante do vapor: R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Escolha de c_p: o calor específico do vapor superaquecido varia com a temperatura; numa faixa entre \sim 450\\ \mathrm{K} e \sim 610\\ \mathrm{K} um valor médio razoável encontrado em tabelas é cerca de c_p\approx 2{,}15\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}. Essa é uma aproximação conveniente quando não se usa diretamente tabelas de vapor superaquecido. (Se quiser precisão total, usar tabelas de vapor superaquecido ou software termodinâmico.)
  • Calcular o expoente c_p/R: \frac{c_p}{R} = \frac{2{,}15}{0{,}4615} \approx 4{,}659.
  • Calcular a razão de temperaturas e seu logaritmo: \frac{T_2}{T_1} = \frac{613{,}15}{453{,}03} \approx 1{,}3534, \qquad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \approx 0{,}3021.
  • Multiplicando: \frac{c_p}{R}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \approx 4{,}659\times 0{,}3021 \approx 1{,}407.
  • Exponenciando para obter a razão de pressões: \frac{p_2}{p_1} = \exp(1{,}407) \approx 4{,}084.
  • Finalmente: p_2 = p_1\cdot 4{,}084 \approx 10\\ \mathrm{bar}\times 4{,}084 \approx 40{,}8\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Interpretação, verificação e indicação de incerteza:
  • Resultado aproximado: \,p_2\approx 40{,}8\\ \mathrm{bar}.
  • Comentário sobre a aproximação: usei a hipótese de vapor como gás ideal com c_p médio estimado. Para vapor a altas temperaturas isso costuma ser uma boa aproximação, mas a precisão depende de quão correto for o valor de c_p. Usando tabelas de vapor superaquecido (ou um software termodinâmico) para impor T_2=340^\circ\mathrm{C} e procurar a pressão onde a entropia específica coincide com a entropia do vapor saturado a 10\\ \mathrm{bar} obter-se-ia um valor mais exato; normalmente esse valor fica da mesma ordem (cerca de 40 45\\ \mathrm{bar}).
  • Moral: o procedimento que se usa num exame sem tabela (ou quando se permite idealizar como gás ideal) é exatamente o que foi feito: usar a fórmula de variação de entropia do gás ideal, converter temperaturas para Kelvin, estimar c_p, e resolver para p_2.

Resposta

p_2 \approx 40{,}8\\ \mathrm{bar}

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