20 kg de vapor d’água na pressão de 1 atm e título 0,6 é expandido isotermicamente até a pressão de 0,1 \mathrm{~atm}. Pede-se:
a) Qual a temperatura do vapor no final do processo em { }^{\circ} \mathrm{C} ?
b) Calcular a variação total de entropia em (kJ/K).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listando exatamente o que temos e o que precisa ser encontrado):
  • Massa total: m=20\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: pressão P_1=1\\ \mathrm{atm} e título (qualidade) x_1=0,6. Ou seja, é uma mistura saturada de água com 60\% em massa na fase vapor e 40\% em massa na fase líquida.
  • Processo: expansão isotérmica até a pressão P_2=0,1\\ \mathrm{atm}.
  • Pedidos:
    (a) calcular a temperatura do vapor no final do processo em {}^{\circ}\mathrm{C};
    (b) calcular a variação total de entropia \Delta S em \mathrm{kJ/K}.

Passo 2

Entender o que significa “expansão isotérmica” e qual é a temperatura do processo.
  • “Isotérmico” significa temperatura constante durante todo o processo. Portanto a temperatura final T_2 é igual à temperatura inicial T_1.
  • O estado inicial é uma mistura saturada à pressão P_1=1\\ \mathrm{atm}. A temperatura de saturação da água à pressão de 1\\ \mathrm{atm} é 100\\ ^\circ\mathrm{C}. Esse valor é padrão das tabelas de vapor: à pressão de 1\\ \mathrm{atm} a água entra em ebulição a 100\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Como o processo é isotérmico: T_2 = T_1 = 100\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Verificar a natureza do estado final (superaquecido ou saturado) e estratégia para calcular a entropia.
  • A pressão final é P_2=0,1\\ \mathrm{atm}. A temperatura de saturação correspondente a 0,1\\ \mathrm{atm} é aproximadamente 45,8\\ ^\circ\mathrm{C} (valor das tabelas). Como o processo ocorre à temperatura fixa 100\\ ^\circ\mathrm{C}, que é muito maior que 45,8\\ ^\circ\mathrm{C}, o estado final está na região de vapor superaquecido (ou seja, vapor a 100\\ ^\circ\mathrm{C} e 0,1\\ \mathrm{atm} é vapor superaquecido).
  • Estratégia para entropia: calcular a entropia específica inicial s_1 a partir da qualidade e das entropias saturadas a P_1; calcular a entropia específica final s_2 usando a relação válida para vapor (aproximação de gás ideal para variação de pressão a temperatura fixa), e então \Delta S = m\,(s_2-s_1).

Passo 4

Calcular a entropia específica inicial s_1 (mistura saturada em P_1=1\\ \mathrm{atm}) usando dados das tabelas de vapor.
  • Dos dados das tabelas de vapor saturado à pressão 1\\ \mathrm{atm} (ou 100\\ ^\circ\mathrm{C}) toma-se: s_f(100^\circ\mathrm{C}) = 1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, \qquad s_g(100^\circ\mathrm{C}) = 7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.(esses valores foram obtidos das tabelas de vapor saturado à 1\\ \mathrm{atm}.)
  • A entropia específica da mistura é s_1 = (1-x_1)\,s_f + x_1\,s_g.Substituindo x_1=0,6: s_1 = 0,4\cdot 1{,}307 + 0,6\cdot 7{,}359.Calculemos: s_1 = 0{,}4\cdot 1{,}307 + 0{,}6\cdot 7{,}359 = 0{,}5228 + 4{,}4154 = 4{,}9382\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 5

Calcular a entropia específica final s_2 do vapor superaquecido a T=100\\ ^\circ\mathrm{C} e P_2=0,1\\ \mathrm{atm} usando a relação para variação de pressão à temperatura constante (aproximação de gás ideal para o vapor).
  • Para um gás ideal, a diferencial de entropia é \mathrm{d}s = c_p\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\frac{\mathrm{d}P}{P}.Em processo isotérmico ( \mathrm{d}T=0) fica \mathrm{d}s = -R\frac{\mathrm{d}P}{P}.Integrando de P_1 a P_2 (e como T é fixo) obtém-se para a variação de entropia específica s_2 - s_{(T,P_1)} = -R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),onde s_{(T,P_1)} é a entropia específica à mesma temperatura T e pressão P_1. Podemos escolher s_{(T,P_1)} como s_g(100^\circ\mathrm{C}) porque esse é o valor de entropia do vapor à T=100^\circ\mathrm{C} e P_1=1\\ \mathrm{atm}.
  • O valor da constante específica dos gases para a água (vapor) é R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Assim: s_2 = s_g(100^\circ\mathrm{C}) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).Substituindo s_g(100^\circ\mathrm{C})=7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, P_1=1\\ \mathrm{atm}, P_2=0,1\\ \mathrm{atm}: \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(0{,}1)=-2{,}302585\ldots
-R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -0{,}4615\cdot(-2{,}302585) = 1{,}06264\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Portanto
s_2 = 7{,}359 + 1{,}06264 = 8{,}42164\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 6

Calcular a variação específica de entropia e a variação total de entropia do sistema.
  • Variação específica: \Delta s = s_2 - s_1 = 8{,}42164 - 4{,}9382 = 3{,}48344\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Variação total de entropia para a massa m=20\\ \mathrm{kg}: \Delta S = m\,\Delta s = 20\cdot 3{,}48344 = 69{,}6688\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Arredondando com um dígito significativo razoável para este tipo de problema: \Delta S \approx 69{,}67\\ \mathrm{kJ/K}.

Resposta

(a) 100^\circ\mathrm{C}
(b) \Delta S \approx 69{,}67\\ \mathrm{kJ/K}

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