Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93^{\circ} \mathrm{C}, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21^{\circ} \mathrm{C}. O ar no compartimento está a 27^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película é 5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se :
o duto é de estanho ( \varepsilon=0,1 )

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados nos são fornecidos.
  • Pedido: determinar a taxa de transferência de calor por unidade de tempo, por metro de tubo (ou seja, \dot{Q} em kcal/h por metro), para o duto descrito.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • diâmetro externo do duto: D = 0{,}22\\ \text{m};
    • temperatura superficial do duto: T_t = 93{^\circ\text{C}};
    • temperatura do ar no compartimento: T_{\text{ar}} = 27{^\circ\text{C}};
    • temperatura das paredes do compartimento: T_p = 21{^\circ\text{C}};
    • coeficiente de película (convecção ar-sup. do tubo): h = 5\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot{^\circ\text{C}}};
    • emissividade do estanho: \varepsilon = 0{,}1.
  • O enunciado e a figura indicam que existem dois modos de perda de calor a considerar:
    1. convecção do tubo para o ar do compartimento (usa h e T_{\text{ar}});
    2. radiação do tubo para as paredes do compartimento (usa \varepsilon, lei de Stefan–Boltzmann e T_p).
Observação: a resposta final deverá ser a soma das taxas por convecção e por radiação, referidas por metro de tubo.

Passo 2

Escolha do modelo físico e fórmulas básicas (aula rápida, passo a passo).
  • Por que considerar os dois modos? O duto está mais quente que o ar, então haverá convecção; além disso, como há diferença de temperatura entre a superfície do duto e as paredes, há também troca radiativa. Para tubos em um gabinete grande, é comum somar a perda convectiva para o ar e a perda radiativa para as paredes (assumindo que as paredes se comportam como um corpo a temperatura T_p).
  • Fórmulas que vamos usar:
    1. Convecção (fluxo por área):
    \dot{q}_{\text{conv}}'' = h\,(T_t - T_{\text{ar}}),
    onde \dot{q}_{\text{conv}}'' é a taxa de calor por unidade de área ( \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2}), h é o coeficiente de película e as temperaturas são em {^\circ\text{C}} (diferença em {^\circ\text{C}} = diferença em K).
    1. Radiação (fluxo por área para um objeto com emisividade \varepsilon trocando com grandes paredes à temperatura T_p):
    \dot{q}_{\text{rad}}'' = \varepsilon\,\sigma\,(T_t^4 - T_p^4),
    onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann; aqui as temperaturas devem estar em kelvin ( \text{K}) e o resultado terá unidades de energia/(tempo·área). Explicando: a lei diz que um corpo ideal (emissividade 1) emite energia proporcional a T^4; para um corpo real multiplica-se pela emissividade \varepsilon e toma-se a diferença entre as potências correspondentes às temperaturas envolvidas.
    1. Para obter a taxa por metro de tubo, multiplicamos a densidade de fluxo por área pela área superficial do tubo por metro de comprimento:
    A_{1\\ \text{m}} = \pi D \quad\text{(área lateral de 1 m de comprimento)}.á
  • Unidade prática: como h está em \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot{^\circ\text{C}}}, convém usar \sigma na unidade \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot\text{K}^4}. A constante de Stefan–Boltzmann em SI é \sigma_{\text{SI}} \approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}^4}. Para converter para \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot\text{K}^4} usamos 1\\ \text{W}=1\\ \text{J/s}, 1\\ \text{kcal}=4184\\ \text{J} e 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}, daí o fator de conversão 3600/4184. Logo:
    \sigma \approx 5{,}670374419\times10^{-8}\times\frac{3600}{4184} \approx 4{,}876\times10^{-8}\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot\text{K}^4}.

Passo 3

Cálculo da área superficial por metro de tubo.
  • Circunferência (área lateral por metro):
A_{1\\ \text{m}} = \pi D = \pi\cdot 0{,}22 = 0{,}22\pi \approx 0{,}69115\\ \text{m}^2.

Passo 4

Cálculo da perda por convecção (passo a passo, mostrando unidades).
  • Diferença de temperatura para convecção:
T_t - T_{\text{ar}} = 93 - 27 = 66\\ (^ \circ\text{C}).
  • Fluxo convectivo por área:
\dot{q}_{\text{conv}}'' = h\,(T_t - T_{\text{ar}}) = 5 \times 66 = 330\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2}.
  • Convertendo para taxa por metro de tubo (multiplicando pela área lateral de 1 m):
\dot{Q}_{\text{conv, 1m}} = \dot{q}_{\text{conv}}''\cdot A_{1\\ \text{m}} = 330 \times 0{,}69115 \approx 228{,}1\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}.
Interpretação rápida e motivadora: isso já dá a maior parte da perda — convecção com ar quente é forte quando h (mesmo modesto) multiplica uma diferença de 66\\ ^\circ\text{C}.

Passo 5

Cálculo da perda por radiação (detalhado: conversão de temperaturas e cálculo de T^4).
  • Primeiro, converter temperaturas para kelvin (porque a lei de Stefan–Boltzmann usa kelvin):
T_t = 93 + 273{,}15 = 366{,}15\\ \text{K}, \qquad T_p = 21 + 273{,}15 = 294{,}15\\ \text{K}.
  • Usaremos \sigma \approx 4{,}876\times10^{-8}\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2\cdot\text{K}^4} e \varepsilon = 0{,}1.
  • Para calcular T_t^4 - T_p^4 de forma estável numérica, uso a fatoração
T_t^4 - T_p^4 = (T_t - T_p)\,(T_t^3 + T_t^2 T_p + T_t T_p^2 + T_p^3),
o que reduz erros e evita elevar números muito grandes direto.
  • Diferença:
T_t - T_p = 366{,}15 - 294{,}15 = 72\\ \text{K}.
  • Agora os termos (apresento os cálculos intermediários):
T_t^2 = 366{,}15^2 = 134\,065{,}8225\\ \text{K}^2,
T_p^2 = 294{,}15^2 = 86\,524{,}2225\\ \text{K}^2,
T_t^3 = T_t^2\cdot T_t \approx 134\,065{,}8225 \times 366{,}15 \approx 49\,088\,200{,}9084\\ \text{K}^3,
T_p^3 = T_p^2\cdot T_p \approx 86\,524{,}2225 \times 294{,}15 \approx 25\,451\,100{,}0484\\ \text{K}^3,
T_t^2 T_p \approx 134\,065{,}8225 \times 294{,}15 \approx 39\,435\,461{,}6884\\ \text{K}^3,
T_t T_p^2 \approx 366{,}15 \times 86\,524{,}2225 \approx 31\,680\,844{,}0684\\ \text{K}^3.
  • Soma dos termos:
S = T_t^3 + T_t^2 T_p + T_t T_p^2 + T_p^3 \approx 145\,655\,606{,}7135\\ \text{K}^3.
  • Portanto
T_t^4 - T_p^4 = 72 \times 145\,655\,606{,}7135 \approx 10\,487\,203\,682{,}4\\ \text{K}^4.
  • Agora o fluxo radiativo por área:
\dot{q}_{\text{rad}}'' = \varepsilon\,\sigma\,(T_t^4 - T_p^4) \approx 0{,}1 \times 4{,}876\times10^{-8} \times 10\,487\,203\,682{,}4.
  • Efetuando a multiplicação (detalhe numérico):
0{,}1\times 4{,}876\times10^{-8} = 4{,}876\times10^{-9},
\dot{q}_{\text{rad}}'' \approx 4{,}876\times10^{-9}\times 1{,}04872036824\times10^{10} \approx 51{,}13\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}^2}.
  • Convertendo para taxa por metro de tubo:
\dot{Q}_{\text{rad, 1m}} = \dot{q}_{\text{rad}}''\cdot A_{1\\ \text{m}} \approx 51{,}13 \times 0{,}69115 \approx 35{,}36\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}.
Breve comentário empático: a radiação contribui menos que a convecção neste caso porque a emissividade do estanho é baixa ( \varepsilon=0{,}1).

Passo 6

Soma das contribuições e resultado final (com explicação curta sobre o que significa).
  • A taxa total de perda de calor por metro de tubo é a soma das perdas por convecção e por radiação:
\dot{Q}_{\text{total, 1m}} = \dot{Q}_{\text{conv, 1m}} + \dot{Q}_{\text{rad, 1m}} \approx 228{,}1 + 35{,}36 = 263{,}46\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}.
  • Interpretação: por cada metro de tubo, o duto perde cerca de 263{,}5 kcal por hora para o ambiente (maior parcela por convecção para o ar).

Resposta

263{,}46\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\cdot\text{m}}

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