Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de
, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a
. O ar no compartimento está a
e o coeficiente de película é
. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se :
o duto é de estanho (
)
o duto é de estanho (
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados nos são fornecidos.
-
Pedido: determinar a taxa de transferência de calor por unidade de tempo, por metro de tubo (ou seja,
em kcal/h por metro), para o duto descrito. -
Dados numéricos fornecidos:
- diâmetro externo do duto:
; - temperatura superficial do duto:
; - temperatura do ar no compartimento:
; - temperatura das paredes do compartimento:
; - coeficiente de película (convecção ar-sup. do tubo):
; - emissividade do estanho:
.
- diâmetro externo do duto:
-
O enunciado e a figura indicam que existem dois modos de perda de calor a considerar:
- convecção do tubo para o ar do compartimento (usa
e ); - radiação do tubo para as paredes do compartimento (usa
, lei de Stefan–Boltzmann e ).
- convecção do tubo para o ar do compartimento (usa
Observação: a resposta final deverá ser a soma das taxas por convecção e por radiação, referidas por metro de tubo.
Passo 2
Escolha do modelo físico e fórmulas básicas (aula rápida, passo a passo).
-
Por que considerar os dois modos? O duto está mais quente que o ar, então haverá convecção; além disso, como há diferença de temperatura entre a superfície do duto e as paredes, há também troca radiativa. Para tubos em um gabinete grande, é comum somar a perda convectiva para o ar e a perda radiativa para as paredes (assumindo que as paredes se comportam como um corpo a temperatura
). -
Fórmulas que vamos usar:
- Convecção (fluxo por área):
ondeé a taxa de calor por unidade de área ( ), é o coeficiente de película e as temperaturas são em (diferença em = diferença em K). - Radiação (fluxo por área para um objeto com emisividade
trocando com grandes paredes à temperatura ):
ondeé a constante de Stefan–Boltzmann; aqui as temperaturas devem estar em kelvin ( ) e o resultado terá unidades de energia/(tempo·área). Explicando: a lei diz que um corpo ideal (emissividade ) emite energia proporcional a ; para um corpo real multiplica-se pela emissividade e toma-se a diferença entre as potências correspondentes às temperaturas envolvidas. - Para obter a taxa por metro de tubo, multiplicamos a densidade de fluxo por área pela área superficial do tubo por metro de comprimento:
-
Unidade prática: como
está em , convém usar na unidade . A constante de Stefan–Boltzmann em SI é . Para converter para usamos , e , daí o fator de conversão . Logo:
Passo 3
Cálculo da área superficial por metro de tubo.
- Circunferência (área lateral por metro):
Passo 4
Cálculo da perda por convecção (passo a passo, mostrando unidades).
- Diferença de temperatura para convecção:
- Fluxo convectivo por área:
- Convertendo para taxa por metro de tubo (multiplicando pela área lateral de 1 m):
Interpretação rápida e motivadora: isso já dá a maior parte da perda — convecção com ar quente é forte quando
(mesmo modesto) multiplica uma diferença de
.
Passo 5
Cálculo da perda por radiação (detalhado: conversão de temperaturas e cálculo de
).
- Primeiro, converter temperaturas para kelvin (porque a lei de Stefan–Boltzmann usa kelvin):
-
Usaremos
e . -
Para calcular
de forma estável numérica, uso a fatoração
o que reduz erros e evita elevar números muito grandes direto.
- Diferença:
- Agora os termos (apresento os cálculos intermediários):
- Soma dos termos:
- Portanto
- Agora o fluxo radiativo por área:
- Efetuando a multiplicação (detalhe numérico):
- Convertendo para taxa por metro de tubo:
Breve comentário empático: a radiação contribui menos que a convecção neste caso porque a emissividade do estanho é baixa (
).
Passo 6
Soma das contribuições e resultado final (com explicação curta sobre o que significa).
- A taxa total de perda de calor por metro de tubo é a soma das perdas por convecção e por radiação:
- Interpretação: por cada metro de tubo, o duto perde cerca de
kcal por hora para o ambiente (maior parcela por convecção para o ar).