O comprimento de uma curva gamma entre dois pontos gamma(t1) e gamma(t2) pode ser calculado pela expressão integral
L(gamma,[t1, t2])=integralt1^t2|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(t, t, a t^2) entre os pontos gamma(0) e gamma(1).

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule o comprimento da curva
gamma(t)=(t,t,a,t^2)
no intervalo de parâmetros tin[0,1]. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco
L(gamma,[t1,t2])=integralt1^t2|gamma'(t)|,dt,
onde |gamma'(t)| é a norma do vetor derivada.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada
gamma'(t)=l(1,;1,;2a,tr)
e então a sua norma
|gamma'(t)| =raiz1^2+1^2+(2a,t)^2 =raiz2+4a^2t^2

Passo 3

Substituindo na integral de comprimento entre 0 e 1, obtemos
L=integral0^1raiz2+4a^2t^2;dt =raiz2,integral0^1raiz1+2a^2t^2;dt

Passo 4

Para calcular integral0^1raiz1+2a^2t^2,dt, definimos
b=araiz2,
de modo que o integrando fica raiz1+b^2t^2. O primitivo conhecido é
integral raiz1+b^2t^2,dt =t2raiz1+b^2t^2 +12blnl(bt+raiz1+b^2t^2r)+C
Avaliando de 0 a 1
integral0^1raiz1+b^2t^2,dt =12raiz1+b^2 +12blnl(b+raiz1+b^2r)

Passo 5

Voltando a b=araiz2 e multiplicando por raiz2, temos
L =raiz2,gl[ 12raiz1+(araiz2)^2 +12(araiz2)lnl(araiz2+raiz1+2a^2r) gr]
Reorganizando termos resulta
L =raiz1+2a^2raiz2 +12aln!l(araiz2+raiz1+2a^2r)

Resposta

L =raiz1+2a^2raiz2 +12aln!l(araiz2+raiz1+2a^2r)

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