O comprimento de uma curva entre dois pontos e pode ser calculado pela expressão integral
Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(t, t, a t^2) entre os pontos gamma(0) e gamma(1).
Passo 1
O enunciado quer que a gente calcule o comprimento da curva gamma(t)=(t,t,a,t^2)
no intervalo de parâmetros tin[0,1]. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco
L(gamma,[t1,t2])=integralt1^t2|gamma'(t)|,dt,
onde |gamma'(t)| é a norma do vetor derivada.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a derivada
gamma'(t)=l(1,;1,;2a,tr)
e então a sua norma
|gamma'(t)| =raiz1^2+1^2+(2a,t)^2 =raiz2+4a^2t^2
Passo 3
Substituindo na integral de comprimento entre 0 e 1, obtemos