O comprimento de uma curva gamma entre dois pontos gamma(t1) e gamma(t2) pode ser calculado pela expressão integral
L(gamma,[t1, t2])=integralt1^t2|gamma^prime(t)| d t
Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(cos t, sent, at) entre os pontos gamma(0) e gamma(2 pi).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva gamma:[0,2pi]toR^3 definida por
gamma(t) = (cos t,;sin t,;a,t)
entre os pontos gamma(0) e gamma(2pi). Vamos usar a fórmula do comprimento de curva parametrizada:
L(gamma,[0,2pi]) ;=;integral0^2pi|gamma'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t) ;=;l(-sin t,;cos t,;ar)

Passo 3

Agora obtemos a norma de gamma'(t):
|gamma'(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+a^2 =raizsin^2t+cos^2t+a^2 =raiz1+a^2
Note que isso é constante em t.

Passo 4

Como |gamma'(t)|=raiz1+a^2 não depende de t, a integral fica
L =integral0^2piraiz1+a^2,dt =raiz1+a^2;l[tr]0^2pi =2pi,raiz1+a^2

Resposta

L(gamma,[0,2pi]) = 2pi,raiz1+a^2

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