Um vetor v=(x, y, z) tem de norma 200 faz ângulos thetax=pi / 3 e thetay=pi / 4 com os eixos x e y respectivamente. Sabendo que z>0 determine o ângulo thetaz e o vetor v.

Passo 1

O enunciado considera um vetor v=(x,y,z) em R^3 de norma |v|=200. Sabemos que os ângulos entre v e os eixos x e y são thetax=pi/3 e thetay=pi/4. Queremos achar o ângulo thetaz entre v e o eixo z e também determinar o próprio vetor v. O conteúdo usado será o das cossenos diretoras, que dizem que
cos(thetax)=x|v|, cos(thetay)=y|v|, cos(thetaz)=z|v|

Passo 2

Usando as definições de cosseno diretoras para as componentes x e y, escrevemos
x = |v|cos(thetax), y = |v|cos(thetay)

Passo 3

Substituindo |v|=200, thetax=pi/3 e thetay=pi/4, obtemos
x = 200cosl(tfracpi3r)=200cdottfrac12=100,
y = 200cosl(tfracpi4r) =200cdottfracraiz22 =100raiz2

Passo 4

Como |v|^2=x^2+y^2+z^2=200^2, determinamos z (sabendo z>0) por
z^2 = 200^2 - 100^2 - (100raiz2)^2 =40000 - 10000 - 20000 =10000,
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z = raiz10000=100

Passo 5

Para achar o ângulo thetaz usamos
cos(thetaz)=z|v| =100200=12,
o que dá
thetaz = arccosl(tfrac12r)=pi3

Resposta

thetaz=tfracpi3
v=(100,;100raiz2,;100)

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