Determine uma condição necessária e suficiente para que tenhamos:
A-(B-C)=(A-B)-C

Passo 1

O enunciado pede uma condição necessária e suficiente para que, dadas três partes A, B e C, valha
A - (B - C) ;=; (A - B) - C
O conteúdo que vamos usar é a definição de diferença em termos de interseção e complemento:
X - Y ;=; X cap Y^c

Passo 2

Reescrevendo cada membro:
A - (B - C) = A cap (B - C)^c = A cap (B cap C^c)^c = A cap (B^c cup C) = (A cap B^c);cup;(A cap C),
(A - B) - C = (A cap B^c) cap C^c = A cap B^c cap C^c

Passo 3

Para termos
(A cap B^c)cup(A cap C) ;=; A cap B^c cap C^c
é preciso garantir
(A cap B^c)cup(A cap C) ;subseteq; A cap B^c cap C^c,
pois a inclusão inversa sempre vale.

Passo 4

A inclusão acima só ocorre se:
  • Todo xin Acap C também pertencer a C^c, o que exige Acap C=emptyset.
  • Todo xin Acap B^c pertencer a C^c, ou seja, (Acap B^c)cap C=emptyset, mas isso já decorre de Acap C=emptyset.
Portanto a única condição que resolve ambas as inclusões é
Acap C=emptyset

Resposta

A condição necessária e suficiente para
A - (B - C) = (A - B) - C
é
A cap C = emptyset

Exercícios relacionados