O comprimento de um determinado tipo de peça é normalmente distribuído com média 2,5 cm e desvio padrão 0,5 cm.
Para amostras de tamanho n=4 peças, qual a probabilidade de o comprimento médio das peças ser inferior a 2,8 cm?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado manda e ver o que a gente precisa.
Temos peças cujo comprimento é normalmente distribuído com média cm e desvio padrão cm. A gente vai tirar uma amostra de tamanho e quer saber a chance de a média dessa amostra, , ficar abaixo de cm.
Conteúdo da matéria: distribuição da média amostral para variável normal.
O que vamos usar:
  • A média e desvio padrão da população ( e ).
  • Fórmula do desvio padrão da média (erro padrão): .
  • Transformação em escore-z para achar probabilidade na tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, lembrar que se , a média amostral de observações também é normal:
.
Ou seja,
  • Média de é a mesma .
  • Variância de é .

Passo 3

Calcular o desvio padrão da média, chamado erro padrão:
sigmaoverline X = sigmaraizn = 0,5raiz4 = 0,52 = 0,25
Isso significa que .

Passo 4

Agora a gente quer
Pl(X<2,8r)
Transforma em escore-z assim:
Z = X-musigmaoverline X = X-2,50,25
Então
P(X<2,8) = P!l(Z<2,8-2,50,25r) = P!l(Z<1,2r)

Passo 5

Na tabela da normal padrão, vale aproximadamente (ou 88,49 %).

Resposta

A probabilidade de o comprimento médio das 4 peças ser inferior a cm é cerca de 0,8849 (88,49 %).

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