O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado instante, as dimensões são
e
está aumentando em uma taxa de
enquanto
está decrescendo em uma taxa de
. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
(b) A área de superfície
(b) A área de superfície
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
- Valores das dimensões no instante considerado:
-
- Taxas dadas no instante:
-
- O enunciado pede: (b) a taxa de variação da área de superfície da caixa nesse instante.
Observação importante: o enunciado não fornece
. Como não posso pedir informação extra, vou assumir explicitamente que a altura
é constante naquele instante, isto é
. Vou declarar essa suposição quando for substituir os números.
Passo 2
Escrever a fórmula para a área de superfície
de uma caixa retangular (paralelepípedo) em termos de
,
e
.
A área de superfície total é a soma das áreas das seis faces:
Explicando: cada par de lados (
e
,
e
,
e
) gera duas faces congruentes, por isso o fator
. Aqui:
-
é a área de uma face cujo lados são e , -
é a área de uma face com lados e , -
é a área de uma face com lados e .
Passo 3
Diferenciar
em função do tempo
. Vou usar a regra da derivada de soma e a regra do produto (produto:
, onde
e
).
Partindo de
temos, ao derivar ambos os lados em relação a
,
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Passo 4
Juntando os termos e fatorando de forma conveniente, obtemos
Esta forma é útil porque agrupa as taxas
,
e
multiplicadas por somas simples das dimensões.
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos do instante e a suposição feita para
. Lembremos:
-
, , , -
, , - suposição:
.
Substituindo em
temos
Passo 6
Faço as contas passo a passo:
-
. -
. -
.
Somando dentro do parêntese:
.
Multiplicando pelo
externo:
Devemos incluir a unidade: como
é área em metros quadrados, a taxa tem unidade
. Assim
Passo 7
Interpretação: o sinal negativo indica que a área de superfície está diminuindo naquele instante, à taxa de
. Intuitivamente, apesar de
crescer (o que aumenta a área), o decréscimo mais rápido de
(com
e
tendo valores tais que o termo negativo domina) causa uma redução líquida da área total.