O comprimento \ell, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado instante, as dimensões são
\ell=1 \mathrm{~m} \quad \text { e } \quad w=h=2 \mathrm{~m}
e \ell está aumentando em uma taxa de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} enquanto w está decrescendo em uma taxa de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
(b) A área de superfície

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado).
  • Valores das dimensões no instante considerado:
    • \ell=1\\ \mathrm{m}
    • w=2\\ \mathrm{m}
    • h=2\\ \mathrm{m}
  • Taxas dadas no instante:
    • \dfrac{d\ell}{dt}=2\\ \mathrm{m/s}
    • \dfrac{dw}{dt}=-3\\ \mathrm{m/s}
  • O enunciado pede: (b) a taxa de variação da área de superfície da caixa nesse instante.
Observação importante: o enunciado não fornece \dfrac{dh}{dt}. Como não posso pedir informação extra, vou assumir explicitamente que a altura h é constante naquele instante, isto é \dfrac{dh}{dt}=0. Vou declarar essa suposição quando for substituir os números.

Passo 2

Escrever a fórmula para a área de superfície S de uma caixa retangular (paralelepípedo) em termos de \ell, w e h.
A área de superfície total é a soma das áreas das seis faces:
S = 2(\ell w + \ell h + w h).
Explicando: cada par de lados ( \ell e w, \ell e h, w e h) gera duas faces congruentes, por isso o fator 2. Aqui:
  • \ell w é a área de uma face cujo lados são \ell e w,
  • \ell h é a área de uma face com lados \ell e h,
  • w h é a área de uma face com lados w e h.

Passo 3

Diferenciar S em função do tempo t. Vou usar a regra da derivada de soma e a regra do produto (produto: \dfrac{d}{dt}(ab)=a'\,b+a\,b', onde a'=\dfrac{da}{dt} e b'=\dfrac{db}{dt}).
Partindo de
S = 2(\ell w + \ell h + w h),
temos, ao derivar ambos os lados em relação a t,
\frac{dS}{dt} = 2\left(\frac{d}{dt}(\ell w) + \frac{d}{dt}(\ell h) + \frac{d}{dt}(w h)\right).
Aplicando a regra do produto em cada termo:
\frac{d}{dt}(\ell w)=\frac{d\ell}{dt}\,w+\ell\,\frac{dw}{dt},
\frac{d}{dt}(\ell h)=\frac{d\ell}{dt}\,h+\ell\,\frac{dh}{dt},
\frac{d}{dt}(w h)=\frac{dw}{dt}\,h+w\,\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Juntando os termos e fatorando de forma conveniente, obtemos
\frac{dS}{dt}=2\Bigg(\frac{d\ell}{dt}(w+h)+\frac{dw}{dt}( \ell + h)+\frac{dh}{dt}(\ell + w)\Bigg).
Esta forma é útil porque agrupa as taxas \dfrac{d\ell}{dt}, \dfrac{dw}{dt} e \dfrac{dh}{dt} multiplicadas por somas simples das dimensões.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos do instante e a suposição feita para \dfrac{dh}{dt}. Lembremos:
  • \ell=1, w=2, h=2,
  • \dfrac{d\ell}{dt}=2, \dfrac{dw}{dt}=-3,
  • suposição: \dfrac{dh}{dt}=0.
Substituindo em
\frac{dS}{dt}=2\Bigg(\frac{d\ell}{dt}(w+h)+\frac{dw}{dt}( \ell + h)+\frac{dh}{dt}(\ell + w)\Bigg),
temos
\frac{dS}{dt}=2\Big(2\cdot(2+2)+(-3)\cdot(1+2)+0\cdot(1+2)\Big).

Passo 6

Faço as contas passo a passo:
  • 2\cdot(2+2)=2\cdot4=8.
  • (-3)\cdot(1+2)=(-3)\cdot3=-9.
  • 0\cdot(1+2)=0.
Somando dentro do parêntese: 8+(-9)+0=-1.
Multiplicando pelo 2 externo:
\frac{dS}{dt}=2\cdot(-1)=-2.
Devemos incluir a unidade: como S é área em metros quadrados, a taxa tem unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Assim
\frac{dS}{dt}=-2\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação: o sinal negativo indica que a área de superfície está diminuindo naquele instante, à taxa de 2\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Intuitivamente, apesar de \ell crescer (o que aumenta a área), o decréscimo mais rápido de w (com w e \ell tendo valores tais que o termo negativo domina) causa uma redução líquida da área total.

Resposta

-2\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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