Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Desenhar as curvas de nível (contornos) — isto é, as interseções da superfície com planos
constante. - Desenhar as curvas auxiliares (traços em planos coordenados ou planos verticais simples) — são seções verticais que ajudam a visualizar a forma.
- Esboçar o gráfico 3D da superfície resultante.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrições em
ou : domínio é todo o plano .
Passo 2
O que são curvas de nível e como obtê-las aqui.
Definição rápida: curva de nível para uma constante
é o conjunto de pontos
tais que
.
Para
as curvas de nível satisfazem
Observações importantes sobre
:
- Se
não há solução (pois ). - Se
a curva de nível é só o ponto . - Se
a equação é uma elipse centrada na origem.
Colocando em forma padrão de elipse:
Logo os semi-eixos são
Exemplos práticos (úteis para desenhar):
- Para
: semi-eixos e . Pontos principais: , . - Para
: semi-eixos e . Pontos: , . - Para
: semi-eixos e . Pontos: , .
Conclusão: as curvas de nível são elipses concêntricas centradas na origem, mais estendidas no eixo
do que no eixo
(porque o coeficiente de
é maior, então a elipse é mais “apertada” em
).
Passo 3
Curvas auxiliares (traços) mais úteis para desenhar a superfície.
Traço no plano
:
Isto é uma parábola no plano
: vértice em
, abre para cima, mais estreita (mais íngreme) que
por causa do fator
.
Traço no plano
:
Isto é outra parábola no plano
: vértice em
, abre para cima, menos íngreme que a anterior.
Traços em planos verticais
(constante):
que é uma parábola em
deslocada para cima por
.
Traços em planos verticais
(constante):
que é uma parábola em
deslocada para cima por
.
Essas seções mostram que qualquer secção vertical através do eixo
é uma parábola — característica de um paraboloide elíptico.
Passo 4
Como combinar curvas de nível e traços para esboçar o gráfico 3D (passo a passo prático para fazer à mão na prova).
- Desenhe os eixos: plano
horizontal, eixo apontando para cima. - No plano
desenhe algumas elipses concêntricas correspondentes a (ou outros valores): lembrando os semi-eixos em e em . - No plano
(o plano ) desenhe a parábola . No plano (o plano ) desenhe a parábola . Essas duas parábolas cruzam-se no vértice . - A partir das elipses desenhadas no plano
, imagine “elevar” cada elipse até a altura . Cada elipse no nível é a interseção da superfície com o plano horizontal . - Ligue suavemente as elipses com uma superfície contínua formando uma “tigela” (bowl) que é mais fechada na direção
(devido ao coeficiente ) e mais aberta na direção . - Marque o vértice em
e indique setas para cima mostrando que a superfície abre para .
Dica visual: ao desenhar em perspectiva, as elipses mais próximas do observador devem ficar um pouco maiores/mais ovais e as mais altas devem ser mostradas “levemente acima” no espaço.
Passo 5
Características finais para lembrar e usar na prova (resumo prático):
- A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
. - Abre para cima e é simétrica em relação aos planos coordenados
e . - Mais íngreme na direção
(porque coeficiente em ). - Curvas de nível: elipses dadas por
para .
Resposta
Curvas de nível:
(elipses centradas na origem; semi-eixos
em
e
em
, para
).
Curvas auxiliares: (parábola no plano
);
(parábola no plano
); traços
e
são parábolas deslocadas verticalmente.
Esboço: paraboloide elíptico com vértice em , abre para cima; elipses concêntricas no plano
e perfis parabólicos nas seções
e
.
Curvas auxiliares:
Esboço: paraboloide elíptico com vértice em