Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
z=4 x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função z=4x^{2}+y^{2}:
  • Desenhar as curvas de nível (contornos) — isto é, as interseções da superfície com planos z= constante.
  • Desenhar as curvas auxiliares (traços em planos coordenados ou planos verticais simples) — são seções verticais que ajudam a visualizar a forma.
  • Esboçar o gráfico 3D da superfície resultante.
Informações dadas:
  • A função é z(x,y)=4x^{2}+y^{2}.
  • Não há restrições em x ou y: domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que são curvas de nível e como obtê-las aqui.
Definição rápida: curva de nível para uma constante c é o conjunto de pontos (x,y) tais que z(x,y)=c.
Para z=4x^{2}+y^{2} as curvas de nível satisfazem
4x^{2}+y^{2}=c.
Observações importantes sobre c:
  • Se c<0 não há solução (pois 4x^{2}+y^{2}\ge 0).
  • Se c=0 a curva de nível é só o ponto (0,0).
  • Se c>0 a equação é uma elipse centrada na origem.
Colocando em forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{c/4}+\frac{y^{2}}{c}=1.
Logo os semi-eixos são
a_x=\sqrt{\frac{c}{4}}=\frac{\sqrt{c}}{2}\quad\text{(direção \(x\))}, \qquad a_y=\sqrt{c}\quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Exemplos práticos (úteis para desenhar):
  • Para c=1: semi-eixos \frac{1}{2} e 1. Pontos principais: (\pm\tfrac{1}{2},0), (0,\pm1).
  • Para c=4: semi-eixos 1 e 2. Pontos: (\pm1,0), (0,\pm2).
  • Para c=9: semi-eixos \tfrac{3}{2} e 3. Pontos: (\pm\tfrac{3}{2},0), (0,\pm3).
Conclusão: as curvas de nível são elipses concêntricas centradas na origem, mais estendidas no eixo y do que no eixo x (porque o coeficiente de x^{2} é maior, então a elipse é mais “apertada” em x).

Passo 3

Curvas auxiliares (traços) mais úteis para desenhar a superfície.
Traço no plano y=0:
\text{se }y=0\text{ então }z=4x^{2}.ã
Isto é uma parábola no plano xz: vértice em (0,0,0), abre para cima, mais estreita (mais íngreme) que z=x^{2} por causa do fator 4.
Traço no plano x=0:
\text{se }x=0\text{ então }z=y^{2}.ã
Isto é outra parábola no plano yz: vértice em (0,0,0), abre para cima, menos íngreme que a anterior.
Traços em planos verticais y=k (constante):
\text{fixando }y=k\text{ obtém }z=4x^{2}+k^{2},é
que é uma parábola em x deslocada para cima por k^{2}.
Traços em planos verticais x=k (constante):
\text{fixando }x=k\text{ obtém }z=4k^{2}+y^{2},é
que é uma parábola em y deslocada para cima por 4k^{2}.
Essas seções mostram que qualquer secção vertical através do eixo z é uma parábola — característica de um paraboloide elíptico.

Passo 4

Como combinar curvas de nível e traços para esboçar o gráfico 3D (passo a passo prático para fazer à mão na prova).
  1. Desenhe os eixos: plano (x,y) horizontal, eixo z apontando para cima.
  2. No plano (x,y) desenhe algumas elipses concêntricas correspondentes a c=1,4,9 (ou outros valores): lembrando os semi-eixos \tfrac{\sqrt{c}}{2} em x e \sqrt{c} em y.
  3. No plano x=0 (o plano yz) desenhe a parábola z=y^{2}. No plano y=0 (o plano xz) desenhe a parábola z=4x^{2}. Essas duas parábolas cruzam-se no vértice (0,0,0).
  4. A partir das elipses desenhadas no plano xy, imagine “elevar” cada elipse até a altura z=c. Cada elipse no nível z=c é a interseção da superfície com o plano horizontal z=c.
  5. Ligue suavemente as elipses com uma superfície contínua formando uma “tigela” (bowl) que é mais fechada na direção x (devido ao coeficiente 4) e mais aberta na direção y.
  6. Marque o vértice em (0,0,0) e indique setas para cima mostrando que a superfície abre para z\to\infty.
Dica visual: ao desenhar em perspectiva, as elipses mais próximas do observador devem ficar um pouco maiores/mais ovais e as mais altas devem ser mostradas “levemente acima” no espaço.

Passo 5

Características finais para lembrar e usar na prova (resumo prático):
  • A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0).
  • Abre para cima e é simétrica em relação aos planos coordenados xz e yz.
  • Mais íngreme na direção x (porque coeficiente 4 em x^{2}).
  • Curvas de nível: elipses dadas por 4x^{2}+y^{2}=c para c>0.

Resposta

Curvas de nível: 4x^{2}+y^{2}=c (elipses centradas na origem; semi-eixos \tfrac{\sqrt{c}}{2} em x e \sqrt{c} em y, para c>0).
Curvas auxiliares: y=0\Rightarrow z=4x^{2} (parábola no plano xz); x=0\Rightarrow z=y^{2} (parábola no plano yz); traços y=k e x=k são parábolas deslocadas verticalmente.
Esboço: paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), abre para cima; elipses concêntricas no plano xy e perfis parabólicos nas seções x=0 e y=0.

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