A temperatura em um ponto
de uma chapa de metal é dada por
onde
é medido em
e
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em
(b) a direção
(b) a direção
Passo 1
O enunciado dá a temperatura numa chapa por
onde
está em
e
em metros. A pergunta (parte (b)) é: determinar a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função temperatura
está explicitamente dada. - O ponto onde vamos avaliar é
. - "Direção
" significa movimento ao longo do eixo no sentido positivo (vetor ).
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): a taxa de variação da temperatura numa direção é o derivado direcional de
naquela direção. Para uma direção dada por um vetor unitário
, o derivado direcional de
no ponto
é o produto escalar entre o gradiente de
e
:
Aqui:
-
é o vetor gradiente de , cujas componentes são as derivadas parciais e . -
deve ser unitário (ter comprimento ). Se o vetor de direção não for unitário, primeiramente normaliza-se ele.
No caso da direção
positiva, o vetor de direção é
, que já é unitário. Assim o derivado direcional na direção
coincide com a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro relembre a função:
Para
derivamos
tratando
como constante e diferenciando em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
(Comentário didático: multipliquei 60 pelo resultado da derivada de
, que é
.)
Passo 4
Agora avaliamos essa derivada parcial no ponto
. Substituindo
em
obtemos:
Passo 5
Interpretação e unidade: o valor
significa que, ao deslocar-se um metro na direção positiva de
a partir do ponto
, a temperatura aumenta aproximadamente
. A unidade é
por metro.