A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por
T(x, y)=60\left(1+x^{2}+y^{2}\right)
onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x e y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) em
(b) a direção y

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa chapa por
T(x,y)=60\left(1+x^{2}+y^{2}\right),
onde T está em ^\circ\mathrm{C} e x,y em metros. A pergunta (parte (b)) é: determinar a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) na direção y.
Informações relevantes:
  • A função temperatura T(x,y) está explicitamente dada.
  • O ponto onde vamos avaliar é (2,1).
  • "Direção y" significa movimento ao longo do eixo y no sentido positivo (vetor (0,1)).

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): a taxa de variação da temperatura numa direção é o derivado direcional de T naquela direção. Para uma direção dada por um vetor unitário \mathbf{u}, o derivado direcional de T no ponto (x,y) é o produto escalar entre o gradiente de T e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T(x,y)=\nabla T(x,y)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla T(x,y) é o vetor gradiente de T, cujas componentes são as derivadas parciais \dfrac{\partial T}{\partial x} e \dfrac{\partial T}{\partial y}.
  • \mathbf{u} deve ser unitário (ter comprimento 1). Se o vetor de direção não for unitário, primeiramente normaliza-se ele.
No caso da direção y positiva, o vetor de direção é (0,1), que já é unitário. Assim o derivado direcional na direção y coincide com a derivada parcial em relação a y:
D_{y}T(x,y)=\frac{\partial T}{\partial y}(x,y).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T. Primeiro relembre a função:
T(x,y)=60\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).
Para \dfrac{\partial T}{\partial y} derivamos T tratando x como constante e diferenciando em relação a y. A derivada de y^{2} em relação a y é 2y. Portanto:
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=60\cdot 2y=120y.
(Comentário didático: multipliquei 60 pelo resultado da derivada de y^{2}, que é 2y.)

Passo 4

Agora avaliamos essa derivada parcial no ponto (2,1). Substituindo y=1 em \dfrac{\partial T}{\partial y}(x,y)=120y obtemos:
\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)=120\cdot 1=120.

Passo 5

Interpretação e unidade: o valor 120 significa que, ao deslocar-se um metro na direção positiva de y a partir do ponto (2,1), a temperatura aumenta aproximadamente 120\\ ^\circ\mathrm{C}. A unidade é ^\circ\mathrm{C} por metro.

Resposta

120\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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