Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
z=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar as curvas de nível, desenhar curvas auxiliares (traços em planos usuais) e esboçar o gráfico da superfície dada pela função
z = x^{2} - y^{2}.
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou óbvias):
  • A função está definida para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • É uma função polinomial quadrática em x e y.
  • O que se pede:
    • as curvas de nível (conjunto de pontos (x,y) com x^{2}-y^{2}=c para vários valores de c);
    • curvas auxiliares/traços (interseções com planos como y=0, x=0, x=\text{const}, y=\text{const});
    • um esboço do gráfico (forma global da superfície).

Passo 2

O que são curvas de nível (uma pequena aula): uma curva de nível para um valor fixo c é o conjunto
\{(x,y)\mid z(x,y)=c\}.
Aqui isso significa que as curvas de nível satisfazem a equação em (x,y)
x^{2}-y^{2}=c.
Essa equação, para diferentes sinais de c, representa tipos clássicos de cônicas (hipérbolas e retas). Vamos analisar caso a caso.

Passo 3

Análise das curvas de nível por sinais de c:
  • Para c>0: escrever em forma padrão
\frac{x^{2}}{c}-\frac{y^{2}}{c}=1.
Isto é uma hipérbola com centro na origem, cujos ramos abrem ao longo do eixo x (para x grande em módulo). As assíntotas dessa hipérbola são as retas
y=\pm x.
Exemplo prático: para c=1 a curva é x^{2}-y^{2}=1; pontos fáceis: (\pm1,0) pertencem à curva.
  • Para c=0: a equação fica
x^{2}-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-y)(x+y)=0,
ou seja, duas retas que se cruzam:
y= x\quad\text{e}\quad y=-x.
Essas são as assíntotas das hipérbolas e correspondem à curva de nível z=0.
  • Para c<0: escrevendo c=-d com d>0,
x^{2}-y^{2}=-d \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{d}-\frac{x^{2}}{d}=1,
ou seja, outra família de hipérbolas, agora com ramos que abrem ao longo do eixo y (para |y| grande). Exemplo: c=-1 y^{2}-x^{2}=1; pontos fáceis: (0,\pm1).

Passo 4

Como desenhar na prática as curvas de nível (passo a passo fácil para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y no plano.
  2. Trace as duas retas y=\pm x (esta é a curva de nível para c=0).
  3. Para c>0 escolha alguns valores (por exemplo c=1,2). Para cada c:
    • encontre os interceptos com x-eixo: colocar y=0 x=\pm\sqrt{c};
    • desenhe uma hipérbola com ramos ao longo do eixo x aproximando-se das retas y=\pm x quando |x| aumenta.
  4. Para c<0 escolha alguns valores (por exemplo c=-1,-2). Para cada c:
    • encontre interceptos com y-eixo: colocar x=0 y=\pm\sqrt{-c};
    • desenhe hipérbolas com ramos ao longo do eixo y aproximando-se das retas y=\pm x.
Dica: marque pontos-chave como (\pm\sqrt{|c|},0) ou (0,\pm\sqrt{|c|}) para guiar o traço.

Passo 5

Curvas auxiliares (traços em planos coordenados) — pequenas aulas e como usá-las para esboçar a superfície:
  • Traço no plano y=0: substituindo y=0 em z=x^{2}-y^{2}
z = x^{2}.
Isto é uma parábola no plano xz, abrindo para cima com vértice na origem. Em linguagem simples: ao longo da reta y=0 a superfície sobe como uma parábola positiva.
  • Traço no plano x=0: substituindo x=0
z = -y^{2}.
Isto é uma parábola no plano yz, abrindo para baixo com vértice na origem. Ou seja, ao longo da reta x=0 a superfície desce como uma parábola negativa.
  • Traço no plano x=a (constante): para a fixo
z = a^{2}-y^{2}.
Isto, visto no plano vertical paralelo ao plano yz, é uma parábola em y com vértice em (y=0,z=a^{2}) que abre para baixo.
  • Traço no plano y=b (constante): para b fixo
z = x^{2}-b^{2}.
Isto, visto no plano vertical paralelo ao plano xz, é uma parábola em x com vértice em (x=0,z=-b^{2}) que abre para cima.
Esses traços mostram que em direções diferentes a superfície curva para cima ou para baixo — sinal clássico de sela.

Passo 6

Identificando o ponto crítico e o tipo de ponto (mini-aula do teste da segunda derivada): calcule as segundas derivadas
f(x,y)=x^{2}-y^{2},\quad f_{xx}=2,\quad f_{yy}=-2,\quad f_{xy}=0.
O determinante Hessiano no ponto crítico (0,0) é
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot(-2)-0 = -4 < 0.
Como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela (saddle point). Isso confirma o que os traços mostraram: em uma direção sobe, em outra desce.

Passo 7

Como esboçar o gráfico final (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
  1. No espaço (x,y,z) marque a origem (0,0,0), que é o ponto de sela.
  2. Desenhe a parábola z=x^{2} no plano y=0 (vai para cima pelo eixo x).
  3. Desenhe a parábola z=-y^{2} no plano x=0 (vai para baixo pelo eixo y).
  4. Desenhe as curvas de nível no plano z=const (ou, equivalentemente, projete as hipérbolas x^{2}-y^{2}=c no plano xy). Para c>0 as hipérbolas têm ramos ao longo de x; para c<0 ramos ao longo de y.
  5. Una mentalmente essas interseções: o conjunto forma uma superfície em sela que sobe ao longo do eixo x e desce ao longo do eixo y. As linhas y=\pm x são a projeção das direções assintóticas onde z tende para 0 para grandes valores de |x| e |y|.
Visualização curta e intuitiva: imagine um “prato” curvado para cima na direção x e curvado para baixo na direção y; o ponto central é uma sela onde uma cavidade e uma crista se cruzam.

Passo 8

Algumas curvas de nível e pontos de referência para desenhar no papel (valores concretos para guiar o traço):
  • c=2: x^{2}-y^{2}=2. Interceptos: (\pm\sqrt{2},0).
  • c=1: x^{2}-y^{2}=1. Interceptos: (\pm1,0).
  • c=0: y=\pm x.
  • c=-1: y^{2}-x^{2}=1. Interceptos: (0,\pm1).
  • c=-2: y^{2}-x^{2}=2. Interceptos: (0,\pm\sqrt{2}).
Marque esses pontos no plano xy e desenho as hipérbolas correspondentes aproximando-se das retas y=\pm x.

Resposta

Curvas de nível: \;x^{2}-y^{2}=c.
  • Para c>0: hipérbolas com ramos ao longo do eixo x e assíntotas y=\pm x.
  • Para c=0: retas y=\pm x.
  • Para c<0: hipérbolas com ramos ao longo do eixo y.
Curvas auxiliares (traços):
  • Plano y=0: \;z=x^{2} (parábola abrindo para cima).
  • Plano x=0: \;z=-y^{2} (parábola abrindo para baixo).
  • Plano x=a: \;z=a^{2}-y^{2} (parábola em y com vértice z=a^{2}, abre para baixo).
  • Plano y=b: \;z=x^{2}-b^{2} (parábola em x com vértice z=-b^{2}, abre para cima).
Esboço do gráfico: superfície do tipo sela (hiperbolóide parabólico), com ponto de sela na origem (0,0,0); sobe ao longo do eixo x e desce ao longo do eixo y; as projeções das assíntotas y=\pm x são as direções onde as curvas de nível se aproximam.

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