Desenhe as curvas de nível, curvas auxiliares e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede: desenhar as curvas de nível, desenhar curvas auxiliares (traços em planos usuais) e esboçar o gráfico da superfície dada pela função
Informações que o enunciado dá (explicitamente ou óbvias):
- A função está definida para todos os pontos
. - É uma função polinomial quadrática em
e . - O que se pede:
- as curvas de nível (conjunto de pontos
com para vários valores de ); - curvas auxiliares/traços (interseções com planos como
, , , ); - um esboço do gráfico (forma global da superfície).
- as curvas de nível (conjunto de pontos
Passo 2
O que são curvas de nível (uma pequena aula): uma curva de nível para um valor fixo
é o conjunto
Aqui isso significa que as curvas de nível satisfazem a equação em
Essa equação, para diferentes sinais de
, representa tipos clássicos de cônicas (hipérbolas e retas). Vamos analisar caso a caso.
Passo 3
Análise das curvas de nível por sinais de
:
- Para
: escrever em forma padrão
Isto é uma hipérbola com centro na origem, cujos ramos abrem ao longo do eixo
(para
grande em módulo). As assíntotas dessa hipérbola são as retas
Exemplo prático: para
a curva é
; pontos fáceis:
pertencem à curva.
- Para
: a equação fica
ou seja, duas retas que se cruzam:
Essas são as assíntotas das hipérbolas e correspondem à curva de nível
.
- Para
: escrevendo com ,
ou seja, outra família de hipérbolas, agora com ramos que abrem ao longo do eixo
(para
grande). Exemplo:
dá
; pontos fáceis:
.
Passo 4
Como desenhar na prática as curvas de nível (passo a passo fácil para a prova):
- Desenhe os eixos
e no plano. - Trace as duas retas
(esta é a curva de nível para ). - Para
escolha alguns valores (por exemplo ). Para cada : - encontre os interceptos com
-eixo: colocar dá ; - desenhe uma hipérbola com ramos ao longo do eixo
aproximando-se das retas quando aumenta.
- encontre os interceptos com
- Para
escolha alguns valores (por exemplo ). Para cada : - encontre interceptos com
-eixo: colocar dá ; - desenhe hipérbolas com ramos ao longo do eixo
aproximando-se das retas .
- encontre interceptos com
Dica: marque pontos-chave como
ou
para guiar o traço.
Passo 5
Curvas auxiliares (traços em planos coordenados) — pequenas aulas e como usá-las para esboçar a superfície:
- Traço no plano
: substituindo em dá
Isto é uma parábola no plano
, abrindo para cima com vértice na origem. Em linguagem simples: ao longo da reta
a superfície sobe como uma parábola positiva.
- Traço no plano
: substituindo dá
Isto é uma parábola no plano
, abrindo para baixo com vértice na origem. Ou seja, ao longo da reta
a superfície desce como uma parábola negativa.
- Traço no plano
(constante): para fixo
Isto, visto no plano vertical paralelo ao plano
, é uma parábola em
com vértice em
que abre para baixo.
- Traço no plano
(constante): para fixo
Isto, visto no plano vertical paralelo ao plano
, é uma parábola em
com vértice em
que abre para cima.
Esses traços mostram que em direções diferentes a superfície curva para cima ou para baixo — sinal clássico de sela.
Passo 6
Identificando o ponto crítico e o tipo de ponto (mini-aula do teste da segunda derivada): calcule as segundas derivadas
O determinante Hessiano no ponto crítico
é
Como
, o ponto
é um ponto de sela (saddle point). Isso confirma o que os traços mostraram: em uma direção sobe, em outra desce.
Passo 7
Como esboçar o gráfico final (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
- No espaço
marque a origem , que é o ponto de sela. - Desenhe a parábola
no plano (vai para cima pelo eixo ). - Desenhe a parábola
no plano (vai para baixo pelo eixo ). - Desenhe as curvas de nível no plano
const (ou, equivalentemente, projete as hipérbolas no plano ). Para as hipérbolas têm ramos ao longo de ; para ramos ao longo de . - Una mentalmente essas interseções: o conjunto forma uma superfície em sela que sobe ao longo do eixo
e desce ao longo do eixo . As linhas são a projeção das direções assintóticas onde tende para 0 para grandes valores de e .
Visualização curta e intuitiva: imagine um “prato” curvado para cima na direção
e curvado para baixo na direção
; o ponto central é uma sela onde uma cavidade e uma crista se cruzam.
Passo 8
Algumas curvas de nível e pontos de referência para desenhar no papel (valores concretos para guiar o traço):
-
: . Interceptos: . -
: . Interceptos: . -
: . -
: . Interceptos: . -
: . Interceptos: .
Marque esses pontos no plano
e desenho as hipérbolas correspondentes aproximando-se das retas
.
Resposta
Curvas de nível:
- Para
: hipérbolas com ramos ao longo do eixo e assíntotas . - Para
: retas . - Para
: hipérbolas com ramos ao longo do eixo .
Curvas auxiliares (traços):
- Plano
: (parábola abrindo para cima). - Plano
: (parábola abrindo para baixo). - Plano
: (parábola em com vértice , abre para baixo). - Plano
: (parábola em com vértice , abre para cima).
Esboço do gráfico: superfície do tipo sela (hiperbolóide parabólico), com ponto de sela na origem
; sobe ao longo do eixo
e desce ao longo do eixo
; as projeções das assíntotas
são as direções onde as curvas de nível se aproximam.