O comprimento exato da curva y=\ln \left(1-x^{2}\right) para 0 \leq \mathrm{x} \leq 0,5 é
(A) \ln (2).
(B) \ln (3)-1 / 2.
(C) \ln (3)+1 / 2.
(D) \ln (5)-1 / 2.
(E) \ln (5)+1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr) no intervalo 0 \leq x \leq 0,5 e pede o comprimento exato dessa curva. As informações importantes são:
  • Função: y=\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr).
  • Intervalo: x varia de 0 até 0,5.
  • Pedido: comprimento exato da curva entre esses extremos.

Passo 2

Para calcular o comprimento de uma curva y=f(x) de x=a até x=b usa-se a fórmula do arco:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui:
  • L é o comprimento procurado.
  • f'(x) é a derivada da função em relação a x.
    Aplicando isso à nossa função, o primeiro passo é calcular f'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr). Calculemos passo a passo:
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr)=\frac{1}{1-x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1-x^{2}\bigr) =\frac{1}{1-x^{2}}\cdot(-2x) =-\frac{2x}{1-x^{2}}.
Portanto f'(x)=-\dfrac{2x}{1-x^{2}}.

Passo 3

Agora formamos 1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2} e simplificamos cuidadosamente:
1+\biggl(-\frac{2x}{1-x^{2}}\biggr)^{2} =1+\frac{4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{(1-x^{2})^{2}+4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Expandindo o numerador:
(1-x^{2})^{2}+4x^{2}=1-2x^{2}+x^{4}+4x^{2}=1+2x^{2}+x^{4}=(1+x^{2})^{2}.
Logo
1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=\frac{(1+x^{2})^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Como no intervalo dado 0\le x\le 0,5 tem-se 1-x^{2}>0, a raiz quadrada positiva é
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento:
L=\int_{0}^{0,5}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\,dx.
Para integrar convém decompor a função racional. Observe que
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=-1+\frac{2}{1-x^{2}}.
(Verificação rápida: -1+\dfrac{2}{1-x^{2}}=\dfrac{-(1-x^{2})+2}{1-x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.)
Portanto
L=\int_{0}^{0,5}\Bigl(-1+\frac{2}{1-x^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{0,5}(-1)\,dx+2\int_{0}^{0,5}\frac{1}{1-x^{2}}\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. A integral de -1 é simples:
\int_{0}^{0,5}(-1)\,dx=-x\Big|_{0}^{0,5}=-0,5.
Para a segunda integral use decomposição em frações parciais ou a primitiva conhecida:
\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\Bigr),
portanto
\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\bigl(-\ln(1-x)+\ln(1+x)\bigr) =\frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).
Multiplicando por 2 (pois havia fator 2 fora):
2\int_{0}^{0,5}\frac{1}{1-x^{2}}\,dx =\ln\!\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr)\Bigg|_{0}^{0,5}.

Passo 6

Avalie a primitiva no intervalo. Para x=0,5 tem-se
\frac{1+x}{1-x}\Bigg|_{x=0,5}=\frac{1+0,5}{1-0,5}=\frac{1,5}{0,5}=3.
Para x=0 vale \dfrac{1+0}{1-0}=1 e \ln(1)=0. Assim a contribuição da segunda integral é \ln(3)-0=\ln(3).
Somando as duas partes:
L=-0,5+\ln(3)=\ln(3)-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Interpretando o resultado em relação às alternativas fornecidas, a expressão coincide com a alternativa (B).

Resposta

(B) \ln(3)-\tfrac{1}{2}

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