O comprimento exato da curva y=\ln \left(1-x^{2}\right) para 0 \leq \mathrm{x} \leq 0,5 é
(A) \ln (2).
(B) \ln (3)-1 / 2.
(C) \ln (3)+1 / 2.
(D) \ln (5)-1 / 2.
(E) \ln (5)+1 / 2.
Passo 1
O enunciado dá a curva y=\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr) no intervalo 0 \leq x \leq 0,5 e pede o comprimento exato dessa curva. As informações importantes são:
Função: y=\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr).
Intervalo: x varia de 0 até 0,5.
Pedido: comprimento exato da curva entre esses extremos.
Passo 2
Para calcular o comprimento de uma curva y=f(x) de x=a até x=b usa-se a fórmula do arco:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui:
L é o comprimento procurado.
f'(x) é a derivada da função em relação a x.
Aplicando isso à nossa função, o primeiro passo é calcular f'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln\!\bigl(1-x^{2}\bigr). Calculemos passo a passo: