17{ }^{\text {a }} Questão
Sendo f(x)=\operatorname{sen}(2 x), calcule a área limitada por f(x) e pelas retas x=0, x=\pi / 8 e y=0.
(A) \frac{1-\sqrt{2}}{2}
(B) \frac{2-\sqrt{2}}{4}
(C) \frac{1-\sqrt{2}}{4}
(D) \frac{3-\sqrt{2}}{2}
(E) \frac{3-\sqrt{2}}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}(2x) e pede a área limitada por essa curva e pelas retas x=0, x=\pi/8 e y=0.
Informações relevantes que temos:
  • Função: f(x)=\operatorname{sen}(2x).
  • Intervalo em x: de x=0 até x=\pi/8.
  • A reta inferior é y=0 (eixo x).
    O que é pedido: a área da região entre a curva y=\operatorname{sen}(2x) e o eixo x no intervalo indicado.

Passo 2

Interpretação da área como integral definida.
A área pedida (quando a função está acima do eixo x) é dada pela integral definida
\int_{0}^{\pi/8}\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Antes de integrar, confirmamos que a função está acima do eixo x no intervalo: para x\in[0,\pi/8] tem-se 2x\in[0,\pi/4] e \operatorname{sen}(2x)\ge0 nesse intervalo. Logo a integral dá exatamente a área.

Passo 3

Explicação e escolha do método de integração (substituição simples).
Uma técnica padrão é usar a substituição u=2x. Assim:
u=2x \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
As novas cotas ficam: quando x=0 então u=0; quando x=\pi/8 então u=\pi/4. Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi/8}\operatorname{sen}(2x)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi/4}\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Calcular a primitiva e avaliar a integral.
Sabemos que uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), pois \dfrac{d}{du}(-\cos u)=\sin u. Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{4}) + \cos(0)\bigr).

Passo 5

Substituir valores conhecidos de cosseno e simplificar.
Usando \cos(0)=1 e \cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\text{área}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}.á
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}.

Passo 6

Comparação com as alternativas e conclusão.
A expressão encontrada \dfrac{2-\sqrt{2}}{4} corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}

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