Questão
Sendo
, calcule a área limitada por
e pelas retas
e
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Sendo
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a área limitada por essa curva e pelas retas
,
e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Função:
. - Intervalo em
: de até . - A reta inferior é
(eixo ).
O que é pedido: a área da região entre a curvae o eixo no intervalo indicado.
Passo 2
Interpretação da área como integral definida.
A área pedida (quando a função está acima do eixo ) é dada pela integral definida
A área pedida (quando a função está acima do eixo
Antes de integrar, confirmamos que a função está acima do eixo
no intervalo: para
tem-se
e
nesse intervalo. Logo a integral dá exatamente a área.
Passo 3
Explicação e escolha do método de integração (substituição simples).
Uma técnica padrão é usar a substituição . Assim:
Uma técnica padrão é usar a substituição
As novas cotas ficam: quando
então
; quando
então
. Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular a primitiva e avaliar a integral.
Sabemos que uma primitiva de é
, pois
. Portanto
Sabemos que uma primitiva de
Passo 5
Substituir valores conhecidos de cosseno e simplificar.
Usando e
, obtemos
Usando
Colocando em denominador comum:
Passo 6
Comparação com as alternativas e conclusão.
A expressão encontrada corresponde à alternativa (B).
A expressão encontrada
Resposta
(B)