Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto e no mesmo instante. Uma delas anda na direção leste a uma velocidade de 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e a outra anda na direção nordeste a 4 \sqrt{2} \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A taxa de variação da distância entre as duas pessoas, após 15 minutos, será
(A) 0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(B) 2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(C) 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(D) 6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(E) 8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da distância entre duas pessoas, depois de 15 minutos. Informações dadas:
  • As duas pessoas partem do mesmo ponto ao mesmo tempo.
  • Pessoa A anda para o leste com velocidade \,4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Pessoa B anda para o nordeste com velocidade \,4\sqrt{2}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Queremos a taxa de variação da distância entre elas no instante 15 minutos após o início. Converter 15 minutos para horas: t=\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples: origem no ponto de partida, eixo x apontando para o leste e eixo y apontando para o norte. Vou:
  • representar as posições das duas pessoas como funções do tempo t (em horas),
  • escrever a distância entre elas s(t) usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano,
  • derivar s(t) em relação a t para obter \dfrac{ds}{dt} (regra da cadeia / derivada da raiz quadrada).
    Antes de calcular, uma noção rápida sobre decomposição de velocidades: uma velocidade com direção formada por um ângulo \theta com o eixo x tem componentes v_x = v\cos\theta e v_y = v\sin\theta. Para nordeste, \theta=45^\circ e \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Calcular as componentes das velocidades (tirei os valores diretamente do enunciado).
  • Pessoa A: velocidade \,4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} para o leste \Rightarrow componentes v_{A,x}=4,\qquad v_{A,y}=0.
  • Pessoa B: velocidade \,4\sqrt{2}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} para nordeste ( 45^\circ) \Rightarrow v_{B,x}=4\sqrt{2}\cos45^\circ=4\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4,
v_{B,y}=4\sqrt{2}\sin45^\circ=4\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4.
Então a pessoa B tem componentes (4,4) em \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 4

Escrever as funções posição em função do tempo t (todas as posições em km, tempo em h). Como ambas começam na origem em t=0:
  • Pessoa A: x_A(t)=4t,\qquad y_A(t)=0.
  • Pessoa B: x_B(t)=4t,\qquad y_B(t)=4t.

Passo 5

A separação (vetor relativo) é (x_B-x_A,\;y_B-y_A). Portanto:
x_B(t)-x_A(t)=4t-4t=0,
y_B(t)-y_A(t)=4t-0=4t.
A distância entre as duas pessoas é
s(t)=\sqrt{\bigl(x_B-x_A\bigr)^2+\bigl(y_B-y_A\bigr)^2}=\sqrt{0^2+(4t)^2}=\sqrt{16t^2}=4t,
onde tomei a raiz positiva porque distância é não negativa. Observação importante e intuitiva: como as componentes x são iguais, as duas pessoas mantêm a mesma abscissa e se separam apenas na direção norte-sul; por isso a distância é simplesmente a diferença nas coordenadas y.

Passo 6

Derivar s(t)=4t em relação ao tempo para obter a taxa de variação da distância:
\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}(4t)=4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Como a expressão é linear em t, a taxa é constante em todo o movimento. Em particular, no instante t=\dfrac{1}{4}\\ \mathrm{h} (15 minutos) a taxa continua sendo 4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 7

Interpretação final curta e um empurrãozinho de ânimo: apesar de parecer complicado ter duas direções diferentes, a decomposição vetorial revelou que ambas têm a mesma componente leste de 4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, então elas “andam juntas” na direção leste e só se afastam na direção norte com velocidade 4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Logo a taxa de separação é 4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Resposta

(C) 4\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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