Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto e no mesmo instante. Uma delas anda na direção leste a uma velocidade de
, e a outra anda na direção nordeste a
. A taxa de variação da distância entre as duas pessoas, após 15 minutos, será
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da distância entre duas pessoas, depois de 15 minutos. Informações dadas:
- As duas pessoas partem do mesmo ponto ao mesmo tempo.
- Pessoa A anda para o leste com velocidade
. - Pessoa B anda para o nordeste com velocidade
. - Queremos a taxa de variação da distância entre elas no instante
minutos após o início. Converter minutos para horas: .
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples: origem no ponto de partida, eixo
apontando para o leste e eixo
apontando para o norte. Vou:
- representar as posições das duas pessoas como funções do tempo
(em horas), - escrever a distância entre elas
usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano, - derivar
em relação a para obter (regra da cadeia / derivada da raiz quadrada).
Antes de calcular, uma noção rápida sobre decomposição de velocidades: uma velocidade com direção formada por um ângulocom o eixo tem componentes e . Para nordeste, e .
Passo 3
Calcular as componentes das velocidades (tirei os valores diretamente do enunciado).
- Pessoa A: velocidade
para o leste componentes - Pessoa B: velocidade
para nordeste ( )
Então a pessoa B tem componentes
em
.
Passo 4
Escrever as funções posição em função do tempo
(todas as posições em km, tempo em h). Como ambas começam na origem em
:
- Pessoa A:
- Pessoa B:
Passo 5
A separação (vetor relativo) é
. Portanto:
A distância entre as duas pessoas é
onde tomei a raiz positiva porque distância é não negativa. Observação importante e intuitiva: como as componentes
são iguais, as duas pessoas mantêm a mesma abscissa e se separam apenas na direção norte-sul; por isso a distância é simplesmente a diferença nas coordenadas
.
Passo 6
Derivar
em relação ao tempo para obter a taxa de variação da distância:
Como a expressão é linear em
, a taxa é constante em todo o movimento. Em particular, no instante
(15 minutos) a taxa continua sendo
.
Passo 7
Interpretação final curta e um empurrãozinho de ânimo: apesar de parecer complicado ter duas direções diferentes, a decomposição vetorial revelou que ambas têm a mesma componente leste de
, então elas “andam juntas” na direção leste e só se afastam na direção norte com velocidade
. Logo a taxa de separação é
.
Resposta
(C)