O comprimento L do gráfico de y=f(x), a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+f^prime(x)^2 d x
Calcule o comprimento do gráfico da função
f(x)=integral1^x raize^3 t-1 d t
para 1 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função $ f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{e^{3 t} - 1} , dt $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o comprimento do gráfico de uma função $ y = f(x) $:
y = f(x)
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $.

Passo 3

Precisamos encontrar a derivada $ f’(x) $. A função $ f(x) $ é dada por uma integral:
f'(x)
Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral com limite superior $ x $ é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $. Ou seja:
f(x)

Passo 4

Agora, substituímos $ f’(x) $ na fórmula do comprimento:
f'(x)
Simplificando dentro da raiz:
L = integral1^3 raiz1 + (raize^3 x - 1)^2 , dx
Então:
(raize^3 x - 1)^2 = e^3 x - 1

Passo 5

A raiz quadrada de $ e^{3 x} $ é $ e^{\frac{3 x}{2}} $. Portanto, a integral fica:
e^3 x

Passo 6

Vamos integrar $ e^{\frac{3 x}{2}} $. A integral de $ e^{k x} $ é $ \frac{1}{k} e^{k x} $, então:
e^3 x2
Avaliado de 1 a 3:
e^k x

Resposta

O comprimento do gráfico da função $ f(x) $ no intervalo de 1 a 3 é:
f(x)

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