O comprimento
do gráfico de
, é dado por
Calcule o comprimento do gráfico da função
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função $ f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{e^{3 t} - 1} , dt $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o comprimento do gráfico de uma função $ y = f(x) $:
Aqui, $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $.
Passo 3
Precisamos encontrar a derivada $ f’(x) $. A função $ f(x) $ é dada por uma integral:
Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral com limite superior $ x $ é simplesmente a função dentro da integral avaliada em $ x $. Ou seja:
Passo 4
Agora, substituímos $ f’(x) $ na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
A raiz quadrada de $ e^{3 x} $ é $ e^{\frac{3 x}{2}} $. Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar $ e^{\frac{3 x}{2}} $. A integral de $ e^{k x} $ é $ \frac{1}{k} e^{k x} $, então:
Avaliado de 1 a 3:
Resposta
O comprimento do gráfico da função $ f(x) $ no intervalo de 1 a 3 é: