Encontre uma solução particular para a equação:
y^prime prime-3 y^prime=8 e^3 x+4 sin x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos que encontrar uma solução particular para a equação diferencial:
y'' - 3 y' = 8 e^3x + 4 sin x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos que são uma função exponencial $ e^{3x} $ e uma função trigonométrica $ \sin x $. Para resolver isso, vamos usar o método das soluções particulares, onde assumimos uma forma específica para $ y_p $ baseada nos termos do lado direito e ajustamos os coeficientes para que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação em duas partes, cada uma correspondendo a um termo não homogêneo:
y'' - 3 y' = 8 e^3x
y'' - 3 y' = 4 sin x
Vamos encontrar uma solução particular para cada uma dessas equações individualmente e depois somá-las para obter a solução particular completa da equação original.

Passo 3

Vamos começar com o termo exponencial $ 8 e^{3x} $. Suponhamos que a solução particular $ y_{p1} $ tenha a forma:
8 e^3x
Onde $ A $ é uma constante que precisamos determinar. Calculamos as derivadas:
yp1
yp1 = A e^3x
Substituindo na equação diferencial:
A
yp1' = 3 A e^3x
yp1'' = 9 A e^3x
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Como $ e^{3x} $ é solução da equação homogênea associada, multiplicamos por $ x $:
9 A e^3x - 3 (3 A e^3x) = 8 e^3x
Calculando as derivadas novamente:
9 A e^3x - 9 A e^3x = 8 e^3x
0 = 8 e^3x
Substituindo na equação diferencial:
e^3x
x
yp1 = A x e^3x
Igualando os coeficientes:
yp1' = A e^3x + 3 A x e^3x
yp1'' = 6 A e^3x + 9 A x e^3x
Então, a solução particular para o primeiro termo é:
(6 A e^3x + 9 A x e^3x) - 3 (A e^3x + 3 A x e^3x) = 8 e^3x

Passo 4

Agora, vamos resolver para o termo trigonométrico $ 4 \sin x $. Suponhamos que a solução particular $ y_{p2} $ tenha a forma:
4 sin x
Calculamos as derivadas:
yp2
yp2 = C cos x + D sin x
Substituindo na equação diferencial:
yp2' = -C sin x + D cos x
yp2'' = -C cos x - D sin x
(-C cos x - D sin x) - 3 (-C sin x + D cos x) = 4 sin x
Igualando os coeficientes:
Para $ \cos x $:
-C cos x - D sin x + 3 C sin x - 3 D cos x = 4 sin x
Para $ \sin x $:
(-C - 3 D) cos x + (3 C - D) sin x = 4 sin x
Temos o sistema de equações:
cos x
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
-C - 3 D = 0
Substituindo na segunda equação:
sin x
3 C - D = 4
-C - 3 D = 0 3 C - D = 4
C = -3 D
Então:
3 (-3 D) - D = 4
Portanto, a solução particular para o segundo termo é:
-9 D - D = 4

Resposta

A solução particular para a equação diferencial é:
yp = 83 x e^3x + 65 cos x - 25 sin x

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