Encontre uma solução particular para a equação:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos que encontrar uma solução particular para a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos que são uma função exponencial $ e^{3x} $ e uma função trigonométrica $ \sin x $. Para resolver isso, vamos usar o método das soluções particulares, onde assumimos uma forma específica para $ y_p $ baseada nos termos do lado direito e ajustamos os coeficientes para que a equação seja satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação em duas partes, cada uma correspondendo a um termo não homogêneo:
Vamos encontrar uma solução particular para cada uma dessas equações individualmente e depois somá-las para obter a solução particular completa da equação original.
Passo 3
Vamos começar com o termo exponencial $ 8 e^{3x} $. Suponhamos que a solução particular $ y_{p1} $ tenha a forma:
Onde $ A $ é uma constante que precisamos determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Como $ e^{3x} $ é solução da equação homogênea associada, multiplicamos por $ x $:
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para o primeiro termo é:
Passo 4
Agora, vamos resolver para o termo trigonométrico $ 4 \sin x $. Suponhamos que a solução particular $ y_{p2} $ tenha a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Para $ \cos x $:
Para $ \sin x $:
Temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Portanto, a solução particular para o segundo termo é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial é: