Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o volume $ V $ de um sólido que resulta da rotação de uma região $ A $ em torno do eixo $ x $. A região $ A $ está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, e acima do eixo $ x $ até $ y = \operatorname{senh}(x) $ (que é a função seno hiperbólico). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar $ \pi [f(x)]^2 $ no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula do volume usando a função dada:
Aqui, $ f(x) = \operatorname{senh}(x) $.
Passo 3
Para facilitar a integração de $ [\operatorname{senh}(x)]^{2} $, vamos usar uma identidade trigonométrica hiperbólica. Sabemos que:
Isolando $ [\operatorname{senh}(x)]^{2} $:
Passo 4
Substituindo essa identidade na integral do volume:
Podemos simplificar colocando o $ \frac{1}{2} $ fora:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos avaliar a expressão entre os limites de 0 a 1:
Sabemos que $ \operatorname{senh}(0) = 0 $, então:
Resposta
Portanto, o volume $ V $ é: