Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= senh(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o volume $ V $ de um sólido que resulta da rotação de uma região $ A $ em torno do eixo $ x $. A região $ A $ está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, e acima do eixo $ x $ até $ y = \operatorname{senh}(x) $ (que é a função seno hiperbólico). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar $ \pi [f(x)]^2 $ no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula do volume usando a função dada:
V = pi integral0^1 [senh(x)]^2 , dx
Aqui, $ f(x) = \operatorname{senh}(x) $.

Passo 3

Para facilitar a integração de $ [\operatorname{senh}(x)]^{2} $, vamos usar uma identidade trigonométrica hiperbólica. Sabemos que:
[senh(x)]^2
Isolando $ [\operatorname{senh}(x)]^{2} $:
cosh(2x) = 2[senh(x)]^2 + 1

Passo 4

Substituindo essa identidade na integral do volume:
V = pi integral0^1 cosh(2x) - 12 , dx
Podemos simplificar colocando o $ \frac{1}{2} $ fora:
12

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral cosh(2x) , dx = 12 senh(2x) + C
integral 1 , dx = x + C
Então, a integral fica:
V = pi2 [ 12 senh(2x) - x ]0^1

Passo 6

Vamos avaliar a expressão entre os limites de 0 a 1:
V = pi2 ( 12 senh(2 cdot 1) - 1 ) - pi2 ( 12 senh(0) - 0 )
Sabemos que $ \operatorname{senh}(0) = 0 $, então:
senh(0) = 0

Resposta

Portanto, o volume $ V $ é:
V

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