Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a fronteira da parte do paraboloide
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Aqui o campo é
, e
é a fronteira da região do paraboloide
no primeiro octante, orientada anti-horário vista de cima. Vamos usar que pelo Teorema de Stokes:
onde
é a parte do paraboloide e
a orientação compatível com a orientação de
.
Passo 2
Computamos o rotacional de
. Em coordenadas:
Fazendo as derivadas:
Passo 3
Para parametrizar a superfície
no primeiro octante, usamos coordenadas polares no plano
:
com
e
. O vetor normal orientado para cima vem de
Passo 4
A seguir calculamos
Passo 5
Finalmente fazemos a integral dupla em
:
Separando termos e integrando primeiro em
e depois em
, obtemos
Resposta
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