Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k, C é a fronteira da parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot d r usando o Teorema de Stokes. Aqui o campo é F(x,y,z)=xy, i + yz, j + zx, k, e C é a fronteira da região do paraboloide z=1-x^2-y^2 no primeiro octante, orientada anti-horário vista de cima. Vamos usar que pelo Teorema de Stokes:
ointC Fcdot d r ,=, integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é a parte do paraboloide e n,dS a orientação compatível com a orientação de C.

Passo 2

Computamos o rotacional de F. Em coordenadas:
nablatimes F = l(partialy(zx)-partialz(yz),;partialz(xy)-partialx(zx),;partialx(yz)-partialy(xy)r)
Fazendo as derivadas:
nablatimes F = (-y,,-z,,-x)

Passo 3

Para parametrizar a superfície S no primeiro octante, usamos coordenadas polares no plano xy:
x=rcostheta, y=rsintheta, z=1-r^2,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=tfracpi2. O vetor normal orientado para cima vem de
rr=l(costheta,sintheta,-2rr), rtheta=l(-rsintheta,rcostheta,0r),
rrtimes rtheta=(2r^2costheta,,2r^2sintheta,,r)

Passo 4

A seguir calculamos
(nablatimes F)cdot( rrtimes rtheta) = -2r^3sinthetacostheta -2r^2sintheta +2r^4sintheta -r^2costheta

Passo 5

Finalmente fazemos a integral dupla em (r,theta):
integraltheta=0^pi/2!integralr=0^1l(-2r^3sinthetacostheta -2r^2sintheta +2r^4sintheta -r^2costhetar),dr,dtheta
Separando termos e integrando primeiro em r e depois em theta, obtemos
ointC Fcdot d r = -tfrac1720

Resposta

-17/20

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