O comprimento L do gráfico de y=f(x), a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+f^prime(x)^2 d x
Calcule o comprimento do gráfico da função
f(x)=integral1^x raize^3 t-1 d t
para $1 \leq x \leq 3

Passo 1

Aqui a gente tem a função f(x)=integral1^x raize^3t-1,dt e quer o comprimento do arco do gráfico de y=f(x) para 1<= x<= 3. O conteúdo é comprimento de curva, cuja fórmula é L=integrala^b raiz1+f'(x)^2,dx. Para isso, vamos precisar achar f'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior x é o integrando avaliado em x. Assim,
f'(x)=ddxintegral1^x raize^3t-1,dt = raize^3x-1

Passo 3

Substituindo f'(x) na fórmula do comprimento de arco, temos
L=integral1^3 raiz1+l(raize^3x-1r)^2,dx

Passo 4

Dentro da raiz, faz a simplificação: 1+(raize^3x-1)^2 = 1+e^3x-1 = e^3x. Como e^3x>0, isso dá
raize^3x = e^tfrac3x2 Então
L=integral1^3 e^tfrac3x2,dx

Passo 5

Agora integramos a exponencial. Para a=3/2, vale integral e^ax,dx = tfrac1ae^ax. Portanto,
L=[tfrac1tfrac32e^tfrac3x2]1^3 = tfrac23l(e^tfrac92 - e^tfrac32r)

Resposta

tfrac23l(e^tfrac92 - e^tfrac32r)

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