Prove, por definição, os seguintes limites:
lim x 2 x^2+4 x=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites, que faz parte do cálculo. A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando $ x $ se aproxima de 2 na função $ x^2 + 4x $, o valor tende a 12. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de x e x^2 + 4x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon.
No nosso caso, $ f(x) = x^2 + 4x $, $ a = 2 $ e $ L = 12 $.

Passo 3

Vamos começar escrevendo o que queremos provar:
limx to 2 x^2 + 4x = 12
Isso significa que para qualquer epsilon > 0, a gente precisa encontrar um de 0 tal que, se $ |x - 2| < \delta $, então $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão $ |x^2 + 4x - 12| $. Primeiramente, vamos fatorar ou simplificar:
|x^2 + 4x - 12|
Mas talvez seja mais fácil trabalhar diretamente:
x^2 + 4x - 12 = (x^2 + 4x + 4) - 16 = (x + 2)^2 - 16

Passo 5

Vamos tentar expressar $ |x^2 + 4x - 12| $ em termos de $ |x - 2| $. Para isso, podemos reescrever a função:
|x^2 + 4x - 12|
Então:
|x - 2|

Passo 6

Agora, queremos que $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $, ou seja:
|x^2 + 4x - 12| < epsilon
Para controlar isso, precisamos limitar $ |x + 6| $. Vamos supor que $ |x - 2| < 1 $. Então, $ x $ está no intervalo $ (1, 3) $, e então:
|x - 2||x + 6| < epsilon

Passo 7

Com $ |x + 6| < 9 $, podemos garantir que:
|x + 6| < 9
Queremos que isso seja menor que |x - 2||x + 6| < 9|x - 2| , então precisamos que:
epsilon

Passo 8

Portanto, podemos escolher:
de
Isso garante que, se $ |x - 2| < \delta $, então $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $, cumprindo a definição de limite.

Resposta

Assim, provamos que:
limx to 2 x^2 + 4x = 12

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