Prove, por definição, os seguintes limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites, que faz parte do cálculo. A questão pede para provar, usando a definição de limite, que quando $ x $ se aproxima de 2 na função $ x^2 + 4x $, o valor tende a 12. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso, $ f(x) = x^2 + 4x $, $ a = 2 $ e $ L = 12 $.
Passo 3
Vamos começar escrevendo o que queremos provar:
Isso significa que para qualquer
, a gente precisa encontrar um
tal que, se $ |x - 2| < \delta $, então $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão $ |x^2 + 4x - 12| $. Primeiramente, vamos fatorar ou simplificar:
Mas talvez seja mais fácil trabalhar diretamente:
Passo 5
Vamos tentar expressar $ |x^2 + 4x - 12| $ em termos de $ |x - 2| $. Para isso, podemos reescrever a função:
Então:
Passo 6
Agora, queremos que $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $, ou seja:
Para controlar isso, precisamos limitar $ |x + 6| $. Vamos supor que $ |x - 2| < 1 $. Então, $ x $ está no intervalo $ (1, 3) $, e então:
Passo 7
Com $ |x + 6| < 9 $, podemos garantir que:
Queremos que isso seja menor que
, então precisamos que:
Passo 8
Portanto, podemos escolher:
Isso garante que, se $ |x - 2| < \delta $, então $ |x^2 + 4x - 12| < \epsilon $, cumprindo a definição de limite.
Resposta
Assim, provamos que: