Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, que fazem parte do estudo de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a determinar o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um determinado valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
significa que, à medida que se aproxima de , se aproxima de . No nosso caso, queremos mostrar que quando se aproxima de , a expressão se aproxima de 4.
Passo 3
Vamos substituir por na expressão para verificar o comportamento:
Isso nos mostra que, quando se aproxima de , a expressão realmente se aproxima de 4.
Passo 4
Para formalizar essa prova usando a definição de limite, precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que, se , então:
7 | x + 12x+3 | < epsilon implies | x + 12x+3 | < epsilon7
Passo 5
Para garantir que o denominador não seja zero e controlar a expressão, assumimos que x está próximo de -1, mas x neq -1. Vamos escolher de pequeno o suficiente para que 2x + 3 fique longe de zero. Por exemplo, se escolhermos de, então:
|x + 1| < 12 implies -32 < x < -12
Nesse intervalo, 2x + 3 varia entre:
2(-32) + 3 = 0 e 2(-12) + 3 = 2
Então, 2x + 3 está entre 0 e 2 (excluindo 0). Portanto, podemos dizer que |2x + 3| >= 1.