Prove, por definição, os seguintes limites:
lim x -1 x+52 x+3=4.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -1 x+52 x+3=4. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, que fazem parte do estudo de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a determinar o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um determinado valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que:
limx a f(x) = L
significa que, à medida que x se aproxima de a, f(x) se aproxima de L. No nosso caso, queremos mostrar que quando x se aproxima de -1, a expressão x+52x+3 se aproxima de 4.

Passo 3

Vamos substituir x por -1 na expressão x+52x+3 para verificar o comportamento:
(-1)+52(-1)+3 = 4-2+3 = 41 = 4
Isso nos mostra que, quando x se aproxima de -1, a expressão realmente se aproxima de 4.

Passo 4

Para formalizar essa prova usando a definição de limite, precisamos mostrar que para qualquer epsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x + 1| < de, então:
| x+52x+3 - 4 | < epsilon
Vamos manipular a expressão para encontrar de:
| x+52x+3 - 4 | = | x+5 - 4(2x+3)2x+3 | = | x + 5 - 8x -122x+3 | = | -7x -72x+3 |
Simplificando:
| -7(x + 1)2x+3 | = 7 | x + 12x+3 |
Queremos que isso seja menor que epsilon:
7 | x + 12x+3 | < epsilon implies | x + 12x+3 | < epsilon7

Passo 5

Para garantir que o denominador não seja zero e controlar a expressão, assumimos que x está próximo de -1, mas x neq -1. Vamos escolher de pequeno o suficiente para que 2x + 3 fique longe de zero. Por exemplo, se escolhermos de, então:
|x + 1| < 12 implies -32 < x < -12
Nesse intervalo, 2x + 3 varia entre:
2(-32) + 3 = 0 e 2(-12) + 3 = 2
Então, 2x + 3 está entre 0 e 2 (excluindo 0). Portanto, podemos dizer que |2x + 3| >= 1.

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade:
| x + 12x+3 | <= |x + 1| cdot 1|2x+3| <= |x + 1| cdot 1 = |x + 1|
Para que |x + 1| < epsilon7, basta escolher de.

Resposta

Portanto, por definição, lim x -1 x+52 x+3=4.

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