O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são l=1 m e w=h=2 m. l e w aumentam a uma taxa de 2 m / s, ao passo que h diminui a uma taxa de 3 m / s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
  1. O volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma caixa cujas dimensões (comprimento , largura e altura ) estão mudando com o tempo. No instante que estamos olhando, , e . As taxas de variação são: , e . Precisamos descobrir como o volume da caixa está mudando nesse instante, ou seja, encontrar . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume V = l times w times h de uma caixa. A fórmula é:
Como todas as dimensões estão mudando com o tempo, nosso próximo passo é derivar essa fórmula em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Quando temos uma função que é o produto de três funções, a derivada é:
dVdt = dldt times w times h + l times dwdt times h + l times w times dhdt
Isso significa que a taxa de variação do volume depende das taxas de variação de cada dimensão multiplicadas pelas outras dimensões.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos no problema:
dVdt = (2) times 2 times 2 + 1 times 2 times 2 + 1 times 2 times (-3)
Aqui, , , , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 8 + 4 - 6 = 6
Agora, somamos todos esses resultados:

Resposta

A taxa de variação do volume da caixa nesse instante é .

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