O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são
e
.
e
aumentam a uma taxa de
, ao passo que
diminui a uma taxa de
. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
- O volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma caixa cujas dimensões (comprimento
, largura
e altura
) estão mudando com o tempo. No instante que estamos olhando,
,
e
. As taxas de variação são:
,
e
. Precisamos descobrir como o volume da caixa está mudando nesse instante, ou seja, encontrar
. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume
de uma caixa. A fórmula é:
Como todas as dimensões estão mudando com o tempo, nosso próximo passo é derivar essa fórmula em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto para derivadas. Quando temos uma função que é o produto de três funções, a derivada é:
Isso significa que a taxa de variação do volume depende das taxas de variação de cada dimensão multiplicadas pelas outras dimensões.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos no problema:
Aqui,
,
,
,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos todos esses resultados:
Resposta
A taxa de variação do volume da caixa nesse instante é
.