f(x, y)=x^3+y^3
restrito ao triângulo
A=(x, y) in R^2: x >= 0, y >= 0, e x2+y4 <= 1

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^3+y^3 restrita ao triângulo A=(x,y)inR^2: x>=0,;y>=0,;tfracx2+tfracy4<=1. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em conjunto fechado e limitado; vamos usar o teorema de Weierstrass, buscar pontos críticos no interior e analisar as fronteiras.

Passo 2

No interior de A, procuramos pontos onde o gradiente se anula. Calculamos
nabla f(x,y)=l(3x^2,;3y^2r),
Para nabla f=0 precisamos de x=0 e y=0. Esse ponto (0,0) pertence a A, e dá f(0,0)=0.

Passo 3

Agora analisamos as fronteiras, que são os eixos e a hipotenusa do triângulo:
  1. Eixo x: y=0, 0<= x<=2 (pois x/2<=1). Aí f(x,0)=x^3, função crescente em [0,2], logo atinge máximo em x=2, com f(2,0)=8.
  2. Eixo y: x=0, 0<= y<=4 (pois y/4<=1). Aí f(0,y)=y^3, crescente em [0,4], máximo em y=4, com f(0,4)=64.

Passo 4

  1. Hipotenusa: restrição tfracx2+tfracy4=1 y=4-2x, com 0<= x<=2. Definimos
g(x)=x^3+(4-2x)^3
em buscamos extremos em [0,2]. Derivando:
g'(x)=3x^2-6(4-2x)^2overset!=0implies7x^2-32x+32=0,
As raízes são x=16pm4raiz27. Apenas x=tfrac16-4raiz27approx1,48 cai em [0,2]; aí yapprox1,04 e
gl(tfrac16-4raiz27r)approx4,36,
que é menor que os valores nos vértices da hipotenusa (que já são 8 e 64).

Passo 5

Comparando todos os valores obtidos: no interior só deu f(0,0)=0. Nas fronteiras, os maiores valores foram f(2,0)=8 e f(0,4)=64. O maior de todos é 64 e o menor é 0.

Resposta

O valor mínimo de f em A é 0, atingido em (0,0); o valor máximo é 64, atingido em (0,4).

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