restrito ao triângulo
Passo 1
Temos a função
restrita ao triângulo
. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em conjunto fechado e limitado; vamos usar o teorema de Weierstrass, buscar pontos críticos no interior e analisar as fronteiras.
Passo 2
No interior de
, procuramos pontos onde o gradiente se anula. Calculamos
Para
precisamos de
e
. Esse ponto
pertence a
, e dá
.
Passo 3
Agora analisamos as fronteiras, que são os eixos e a hipotenusa do triângulo:
- Eixo
: , (pois ). Aí , função crescente em , logo atinge máximo em , com . - Eixo
: , (pois ). Aí , crescente em , máximo em , com .
Passo 4
- Hipotenusa: restrição
dá , com . Definimos
em buscamos extremos em
. Derivando:
As raízes são
. Apenas
cai em
; aí
e
que é menor que os valores nos vértices da hipotenusa (que já são 8 e 64).
Passo 5
Comparando todos os valores obtidos: no interior só deu
. Nas fronteiras, os maiores valores foram
e
. O maior de todos é 64 e o menor é 0.
Resposta
O valor mínimo de f em A é 0, atingido em (0,0); o valor máximo é 64, atingido em (0,4).