Tome f(x)=a1 sen(x)+a2 sen(2 x)+cdots+an sen(n x), onde a1, a2, ldots an são números reais e onde n in N. Sabendo que |f(x)| <=|sen(x)|, forall x in R, prove que
|a1+2 a2+cdots+n an| <= 1

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para provar que, dada a função , onde os coeficientes são números reais e é um número natural, se para todo real, então . Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que a condição significa. Isso quer dizer que, para qualquer valor de , o valor absoluto da função nunca é maior que o valor absoluto de . Em outras palavras, está “contido” dentro de em termos de magnitude.

Passo 3

Para encontrar uma relação entre os coeficientes , vamos considerar derivar e avaliar em . A ideia aqui é usar a derivada para relacionar os coeficientes com a condição dada.

Passo 4

Calculando a derivada de f'(x) = a1 cos(x) + 2a2 cos(2x) + cdots + n an cos(nx) :
Agora, vamos avaliar essa derivada em .

Passo 5

Avaliando f'(0) = a1 cos(0) + 2a2 cos(0) + cdots + n an cos(0) em f'(0) = a1 + 2a2 + cdots + n an :
Sabemos que , então isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos considerar a derivada de ddx sin(x) g|x=0 = cos(0) = 1 , que é . Avaliando em :
Dado que para todo , também temos que as derivadas devem obedecer .

Passo 7

Portanto, substituindo |a1 + 2a2 + cdots + n an| <= 1 na desigualdade:

Resposta

Concluímos que .

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