Tome , onde são números reais e onde . Sabendo que , prove que
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para provar que, dada a função , onde os coeficientes são números reais e é um número natural, se para todo real, então . Vamos resolver isso passo a passo usando cálculo e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que a condição significa. Isso quer dizer que, para qualquer valor de , o valor absoluto da função nunca é maior que o valor absoluto de . Em outras palavras, está “contido” dentro de em termos de magnitude.
Passo 3
Para encontrar uma relação entre os coeficientes , vamos considerar derivar e avaliar em . A ideia aqui é usar a derivada para relacionar os coeficientes com a condição dada.
Passo 4
Calculando a derivada de :
Agora, vamos avaliar essa derivada em .
Passo 5
Avaliando em :
Sabemos que , então isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos considerar a derivada de , que é . Avaliando em :
Dado que para todo , também temos que as derivadas devem obedecer .
Passo 7
Portanto, substituindo |a1 + 2a2 + cdots + n an| <= 1 na desigualdade: