O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo,
. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime, usando diferenciais, o erro máximo cometido no cálculo da área de um retângulo. As informações fornecidas são:
- o comprimento medido vale
; - a largura medida vale
; - o erro de medida máximo para cada dimensão é
.
A pergunta é: qual é o valor estimado (máximo) do erro na área usando diferenciais?
Passo 2
Vamos definir variáveis e a função área. Seja
o comprimento real e
a largura real, e a área dada por
Aqui
tem unidade
,
e
têm unidade
. No problema temos as medidas aproximadas
e
(ambas em
) e pequenos erros
e
com
e
.
Passo 3
Conceito de diferenciais (explicação rápida e prática). A diferencial
(ou aproximação linear do incremento
) dá uma estimativa do quanto a função
muda quando
e
mudam um pouco. Para funções de duas variáveis, a fórmula é
Aqui
e
representam pequenos incrementos em
e
(na prática usamos
e
). A ideia é aproximar a variação da área por uma soma linear das variações das medidas.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Derivando em relação a
mantendo
fixo:
Derivando em relação a
mantendo
fixo:
Portanto a diferencial é
Esse
nos dá a estimativa do erro da área quando os erros nas medidas são
e
.
Passo 5
Estimativa do erro máximo. Como sabemos apenas os tamanhos máximos dos erros (
e
), a maior variação possível (em valor absoluto) é obtida tomando os sinais que maximizam
. Pela desigualdade triangular,
Usando os valores do problema e
, obtemos
Faço as contas passo a passo:
As unidades são
.
Passo 6
Interpretação final e comentário prático. O resultado
é uma estimativa do erro máximo na área usando a aproximação linear (diferenciais). Na prática isto significa que, devido aos erros de até
nas medidas, a área calculada pode estar errada em até aproximadamente
. Esse método supõe que os erros são pequenos (o que aqui é verdade) e dá uma boa estimativa de ordem de grandeza. Se quiser, dá para ver que se os erros tivessem sinais opostos parte do efeito se cancelaria, mas para garantir o pior caso somamos os efeitos absolutos, como fizemos.