O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 \mathrm{~cm}. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime, usando diferenciais, o erro máximo cometido no cálculo da área de um retângulo. As informações fornecidas são:
  • o comprimento medido vale l=30\\ \mathrm{cm};
  • a largura medida vale w=24\\ \mathrm{cm};
  • o erro de medida máximo para cada dimensão é \pm 0,1\\ \mathrm{cm}.
A pergunta é: qual é o valor estimado (máximo) do erro na área usando diferenciais?

Passo 2

Vamos definir variáveis e a função área. Seja x o comprimento real e y a largura real, e a área dada por
A(x,y)=x\,y.
Aqui A tem unidade \mathrm{cm}^2, x e y têm unidade \mathrm{cm}. No problema temos as medidas aproximadas x=30 e y=24 (ambas em \mathrm{cm}) e pequenos erros \Delta x e \Delta y com |\Delta x|\le 0,1 e |\Delta y|\le 0,1.

Passo 3

Conceito de diferenciais (explicação rápida e prática). A diferencial dA (ou aproximação linear do incremento \Delta A) dá uma estimativa do quanto a função A(x,y) muda quando x e y mudam um pouco. Para funções de duas variáveis, a fórmula é
dA=\frac{\partial A}{\partial x}\,dx+\frac{\partial A}{\partial y}\,dy.
Aqui dx e dy representam pequenos incrementos em x e y (na prática usamos dx\approx\Delta x e dy\approx\Delta y). A ideia é aproximar a variação da área por uma soma linear das variações das medidas.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de A(x,y)=x\,y. Derivando em relação a x mantendo y fixo:
\frac{\partial A}{\partial x}=y.
Derivando em relação a y mantendo x fixo:
\frac{\partial A}{\partial y}=x.
Portanto a diferencial é
dA = y\,dx + x\,dy.
Esse dA nos dá a estimativa do erro da área quando os erros nas medidas são dx e dy.

Passo 5

Estimativa do erro máximo. Como sabemos apenas os tamanhos máximos dos erros ( |dx|\le 0,1 e |dy|\le 0,1), a maior variação possível (em valor absoluto) é obtida tomando os sinais que maximizam |dA|. Pela desigualdade triangular,
|dA| = |y\,dx + x\,dy| \le |y||dx| + |x||dy|.
Usando os valores do problema e |dx|=|dy|=0,1\\ \mathrm{cm}, obtemos
|dA| \le 24\cdot 0,1 + 30\cdot 0,1.
Faço as contas passo a passo:
24\cdot 0,1 = 2,4,
30\cdot 0,1 = 3,0,
2,4 + 3,0 = 5,4.
As unidades são \mathrm{cm}^2.

Passo 6

Interpretação final e comentário prático. O resultado 5,4\\ \mathrm{cm}^2 é uma estimativa do erro máximo na área usando a aproximação linear (diferenciais). Na prática isto significa que, devido aos erros de até 0,1\\ \mathrm{cm} nas medidas, a área calculada pode estar errada em até aproximadamente 5,4\\ \mathrm{cm}^2. Esse método supõe que os erros são pequenos (o que aqui é verdade) e dá uma boa estimativa de ordem de grandeza. Se quiser, dá para ver que se os erros tivessem sinais opostos parte do efeito se cancelaria, mas para garantir o pior caso somamos os efeitos absolutos, como fizemos.

Resposta

5,4\\ \mathrm{cm}^2

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