Determine a diferencial de cada função a seguir.
f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a diferencial de cada função a seguir. f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2}".
Informações dadas: a função de duas variáveis é \;f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2}.
O que é pedido: encontrar a diferencial total df dessa função (a expressão que aproxima a variação de f quando x e y sofrem pequenos incrementos).

Passo 2

O que é a diferencial e a fórmula que vamos usar.
A diferencial total de uma função de duas variáveis \;f(x,y) é a melhor aproximação linear da variação de f para pequenos incrementos \;dx e \;dy. A fórmula geral é
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui \;\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a \;x (tratando \;y como constante) e \;\frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a \;y (tratando \;x como constante). As letras \;dx e \;dy representam os pequenos incrementos em \;x e em \;y respectivamente.

Passo 3

Como calcular derivadas parciais — regra prática.
Para obter \;\frac{\partial f}{\partial x} você diferencia \;f em relação a \;x como se \;y fosse uma constante. As regras usuais (derivada de potência, constante multiplicativa, soma) valem. Vou aplicar termo a termo em \;f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2}.

Passo 4

Cálculo de \;\frac{\partial f}{\partial x}.
Derivando termo a termo em relação a \;x:
  • Derivada de \;3x^{2} em relação a \;x é \;6x (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x e multiplicamos por 3).
  • Derivada de \;2xy em relação a \;x é \;2y (tratando \;y como constante, coeficiente 2y multiplica x).
  • Derivada de \;-y^{2} em relação a \;x é \;0 (porque \;y^{2} é constante quando derivamos em x).
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial x} = 6x + 2y.

Passo 5

Cálculo de \;\frac{\partial f}{\partial y}.
Derivando termo a termo em relação a \;y:
  • Derivada de \;3x^{2} em relação a \;y é \;0 (pois é constante frente a y).
  • Derivada de \;2xy em relação a \;y é \;2x (tratando \;x como constante).
  • Derivada de \;-y^{2} em relação a \;y é -2y (regra da potência).
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 2y.

Passo 6

Montando a diferencial total usando a fórmula do Passo 2. Substituímos as parciais encontradas:
df = \left(6x + 2y\right)\,dx + \left(2x - 2y\right)\,dy.
Interpretação prática: se x muda de x para x+dx e y muda de y para y+dy, então a variação aproximada de f é dada por essa expressão linear.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas útil para a prova).
Suponha que estejamos no ponto (x,y)=(1,2) e que ocorram pequenos incrementos \;dx=0,01 e \;dy=-0,02. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,2)} = 6\cdot1 + 2\cdot2 = 6 + 4 = 10,
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,2)} = 2\cdot1 - 2\cdot2 = 2 - 4 = -2.
Logo
df \approx 10\cdot 0,01 + (-2)\cdot(-0,02) = 0,10 + 0,04 = 0,14.
Isso significa que f aumenta aproximadamente 0,14 com esses pequenos incrementos — é assim que você usa a diferencial na prova.

Resposta

df = (6x + 2y)\,dx + (2x - 2y)\,dy

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