Determine a diferencial de cada função a seguir. f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a diferencial de cada função a seguir. f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2}".
Informações dadas: a função de duas variáveis é \;f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2}.
O que é pedido: encontrar a diferencial total df dessa função (a expressão que aproxima a variação de f quando x e y sofrem pequenos incrementos).
Passo 2
O que é a diferencial e a fórmula que vamos usar.
A diferencial total de uma função de duas variáveis \;f(x,y) é a melhor aproximação linear da variação de f para pequenos incrementos \;dx e \;dy. A fórmula geral é
Aqui \;\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a \;x (tratando \;y como constante) e \;\frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a \;y (tratando \;x como constante). As letras \;dx e \;dy representam os pequenos incrementos em \;x e em \;y respectivamente.
Passo 3
Como calcular derivadas parciais — regra prática.
Para obter \;\frac{\partial f}{\partial x} você diferencia \;f em relação a \;x como se \;y fosse uma constante. As regras usuais (derivada de potência, constante multiplicativa, soma) valem. Vou aplicar termo a termo em \;f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2}.
Passo 4
Cálculo de \;\frac{\partial f}{\partial x}.
Derivando termo a termo em relação a \;x:
Derivada de \;3x^{2} em relação a \;x é \;6x (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x e multiplicamos por 3).
Derivada de \;2xy em relação a \;x é \;2y (tratando \;y como constante, coeficiente 2y multiplica x).
Derivada de \;-y^{2} em relação a \;x é \;0 (porque \;y^{2} é constante quando derivamos em x).
Somando:
\frac{\partial f}{\partial x} = 6x + 2y.
Passo 5
Cálculo de \;\frac{\partial f}{\partial y}.
Derivando termo a termo em relação a \;y:
Derivada de \;3x^{2} em relação a \;y é \;0 (pois é constante frente a y).
Derivada de \;2xy em relação a \;y é \;2x (tratando \;x como constante).
Derivada de \;-y^{2} em relação a \;y é -2y (regra da potência).
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 2y.
Passo 6
Montando a diferencial total usando a fórmula do Passo 2. Substituímos as parciais encontradas:
Interpretação prática: se x muda de x para x+dx e y muda de y para y+dy, então a variação aproximada de f é dada por essa expressão linear.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas útil para a prova).
Suponha que estejamos no ponto (x,y)=(1,2) e que ocorram pequenos incrementos \;dx=0,01 e \;dy=-0,02. Substituindo: