Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui
de espessura e o das laterais tem espessura de
.
Passo 1
O enunciado pede estimar a quantidade de metal (volume de metal) de uma lata cilíndrica fechada, usando diferenciais. As informações dadas são:
Logo o raio externo é
Espessuras fornecidas:
O que se pede: estimar o volume do metal que compõe as duas tampas (cima e baixo) e a lateral, usando o método dos diferenciais — ou seja, usar aproximações lineares válidas para espessuras pequenas.
Passo 2
Vamos modelar o volume interno e externo por cilindros. A fórmula do volume de um cilindro é
onde
é o raio e
é a altura (explico:
é a distância do centro até a parede, e
é a altura do espaço interno do cilindro). Para pequenas variações em
e
a aproximação linear (diferencial) é
Calculamos as derivadas parciais:
Interpretação didática:
corresponde à variação de volume devida a uma pequena mudança no raio (é aproximadamente a área lateral
vezes a pequena espessura
), e
corresponde à variação de volume devida a uma pequena mudança na altura (área da base
vezes
). Isso é exatamente o que precisamos para estimar o metal fino.
Passo 3
Relacionamos as espessuras do problema com
e
. A lata externa tem raio
e altura
. O interior tem raio
e altura interna
Tomamos as variações como
Observação:
e
são negativos porque estamos diminuindo as dimensões do cilindro ao passar do externo para o interno.
Passo 4
Queremos o volume do metal, que é
Usando diferenciais, o volume interno aproximado é
com
. Portanto
Substituindo as derivadas:
Como
e
, isto fica
Interpretação física (para fixar): o primeiro termo é a área lateral
vezes a espessura lateral; o segundo termo é a área das duas tampas
vezes a espessura de cada tampa.
Passo 5
Agora plugamos os números. Lembre-se de
,
,
,
.
Calcule o termo lateral:
Fazendo a conta passo a passo:
logo o termo lateral é
Calcule o termo das tampas:
Passo a passo:
logo o termo das tampas é
Passo 6
Somamos os dois termos para obter a estimativa total:
Convertendo para decimal usando
:
Se quiser conferir a precisão: o valor exato (sem aproximação linear) seria
avaliando isso obtemos aproximadamente
, então a aproximação por diferenciais deu cerca de
de erro — razoável para espessuras pequenas.