Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 \mathrm{~cm} de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede estimar a quantidade de metal (volume de metal) de uma lata cilíndrica fechada, usando diferenciais. As informações dadas são:
H=10\\ \text{cm}\quad(\text{altura total}),\qquad D=4\\ \text{cm}\quad(\text{diâmetro})â
Logo o raio externo é
R=\frac{D}{2}=2\\ \text{cm}.
Espessuras fornecidas:
\text{tampa (cada)}\;=\;0{,}1\\ \text{cm},\qquad\text{parede lateral}\;=\;0{,}05\\ \text{cm}.
O que se pede: estimar o volume do metal que compõe as duas tampas (cima e baixo) e a lateral, usando o método dos diferenciais — ou seja, usar aproximações lineares válidas para espessuras pequenas.

Passo 2

Vamos modelar o volume interno e externo por cilindros. A fórmula do volume de um cilindro é
V=\pi r^{2}h,
onde r é o raio e h é a altura (explico: r é a distância do centro até a parede, e h é a altura do espaço interno do cilindro). Para pequenas variações em r e h a aproximação linear (diferencial) é
dV=\frac{\partial V}{\partial r}\,dr+\frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h,\qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Interpretação didática: 2\pi r h\,dr corresponde à variação de volume devida a uma pequena mudança no raio (é aproximadamente a área lateral 2\pi r h vezes a pequena espessura dr), e \pi r^{2}\,dh corresponde à variação de volume devida a uma pequena mudança na altura (área da base \pi r^{2} vezes dh). Isso é exatamente o que precisamos para estimar o metal fino.

Passo 3

Relacionamos as espessuras do problema com dr e dh. A lata externa tem raio R e altura H. O interior tem raio
r_{\text{in}}=R-t_{\text{lado}}=R-0{,}05
e altura interna
h_{\text{in}}=H-2\,t_{\text{tampa}}=H-2(0{,}1)=H-0{,}2.
Tomamos as variações como
dr=r_{\text{in}}-R=-t_{\text{lado}}=-0{,}05,\qquad dh=h_{\text{in}}-H=-2t_{\text{tampa}}=-0{,}2.
Observação: dr e dh são negativos porque estamos diminuindo as dimensões do cilindro ao passar do externo para o interno.

Passo 4

Queremos o volume do metal, que é
V_{\text{metal}}=V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}.
Usando diferenciais, o volume interno aproximado é V(R,H)+dV com dV=\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac{\partial V}{\partial h}dh. Portanto
V_{\text{metal}}\approx -dV.
Substituindo as derivadas:
V_{\text{metal}}\approx -\bigl(2\pi R H\,dr+\pi R^{2}\,dh\bigr).
Como dr=-t_{\text{lado}} e dh=-2t_{\text{tampa}}, isto fica
V_{\text{metal}}\approx 2\pi R H\,t_{\text{lado}}+2\pi R^{2}\,t_{\text{tampa}}.
Interpretação física (para fixar): o primeiro termo é a área lateral 2\pi R H vezes a espessura lateral; o segundo termo é a área das duas tampas 2\cdot \pi R^{2} vezes a espessura de cada tampa.

Passo 5

Agora plugamos os números. Lembre-se de R=2\\ \text{cm}, H=10\\ \text{cm}, t_{\text{lado}}=0{,}05\\ \text{cm}, t_{\text{tampa}}=0{,}1\\ \text{cm}.
Calcule o termo lateral:
2\pi R H\,t_{\text{lado}}=2\pi\cdot 2\cdot 10\cdot 0{,}05.
Fazendo a conta passo a passo:
2\cdot 2\cdot 10=40,\qquad 40\cdot 0{,}05=2,
logo o termo lateral é
2\pi\\ \text{cm}^{3}.
Calcule o termo das tampas:
2\pi R^{2}\,t_{\text{tampa}}=2\pi\cdot (2)^{2}\cdot 0{,}1.
Passo a passo:
(2)^{2}=4,\qquad 4\cdot 0{,}1=0{,}4,\qquad 2\cdot 0{,}4=0{,}8,
logo o termo das tampas é
0{,}8\pi\\ \text{cm}^{3}.

Passo 6

Somamos os dois termos para obter a estimativa total:
V_{\text{metal}}\approx 2\pi+0{,}8\pi=2{,}8\pi\\ \text{cm}^{3}.
Convertendo para decimal usando \pi\approx 3{,}1416:
V_{\text{metal}}\approx 2{,}8\pi\approx 8{,}80\\ \text{cm}^{3}.
Se quiser conferir a precisão: o valor exato (sem aproximação linear) seria
V_{\text{exato}}=\pi\bigl(R^{2}H-(R-0{,}05)^{2}(H-0{,}2)\bigr),
avaliando isso obtemos aproximadamente 8{,}61\\ \text{cm}^{3}, então a aproximação por diferenciais deu cerca de 2{,}2\% de erro — razoável para espessuras pequenas.

Resposta

\displaystyle V_{\text{metal}}\approx 2{,}8\pi\\ \text{cm}^{3}\approx 8{,}80\\ \text{cm}^{3}

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