Seja z=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y}.
a) Calcule a diferencial de z no ponto ( 1,8 ).
b) Calcule o valor aproximado para Z, correspondente a x=1,01 e y=7,9.
c) Calcule o valor aproximado para a variação \Delta z de z, quando se passa de x=1 e y=8 para x=0,9 e y= 8,01 .
Passo 1
O enunciado dá a função z=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y} e pede três coisas:
(a) Calcular a diferencial de z no ponto (1,8).
(b) Usando essa diferencial, calcular uma aproximação para Z quando x=1,01 e y=7,9.
(c) Calcular a aproximação para a variação \Delta z quando se passa de x=1,\;y=8 para x=0,9,\;y=8,01.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é z(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y}.
O ponto base para a diferencial é (x_0,y_0)=(1,8).
Para (b) usaremos (x,y)=(1,01,\,7,9).
Para (c) o novo ponto é (0,9,\,8,01), partindo de (1,8).
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e prática):
A diferencial total de uma função de duas variáveis z(x,y) é a aproximação linear da variação de z quando x e y sofrem pequenas mudanças. A fórmula é
\mathrm{d}z é a variação aproximada de z (o diferencial).
\frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, mantendo y fixo.
\frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, mantendo x fixo.
\mathrm{d}x e \mathrm{d}y são as pequenas variações em x e y.
Na prova: calcular as derivadas parciais (usando a regra de potência) e substituir no ponto para obter a diferencial em (1,8). Depois, para aproximar Z em um ponto próximo, usamos
Z \approx z(1,8) + \mathrm{d}z
com \mathrm{d}x = x-1 e \mathrm{d}y = y-8. Para \Delta z entre dois pontos, usamos a mesma fórmula com \mathrm{d}x e \mathrm{d}y correspondentes.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de z(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y} passo a passo usando a regra da potência:
Em decimal isso é -0,0491666\ldots. Como \Delta z é a variação aproximada, temos \Delta z\approx \mathrm{d}z.
Resposta
a) \mathrm{d}z=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}x+\dfrac{1}{12}\,\mathrm{d}y\n
b) Z\approx 3-\dfrac{1}{300}=\dfrac{899}{300}\approx 2,996666\ldots\n
c) \Delta z\approx -\dfrac{59}{1200}\approx -0,0491666\ldots