Seja z=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y}.
a) Calcule a diferencial de z no ponto ( 1,8 ).
b) Calcule o valor aproximado para Z, correspondente a x=1,01 e y=7,9.
c) Calcule o valor aproximado para a variação \Delta z de z, quando se passa de x=1 e y=8 para x=0,9 e y= 8,01 .

Passo 1

O enunciado dá a função z=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y} e pede três coisas:
  1. (a) Calcular a diferencial de z no ponto (1,8).
  2. (b) Usando essa diferencial, calcular uma aproximação para Z quando x=1,01 e y=7,9.
  3. (c) Calcular a aproximação para a variação \Delta z quando se passa de x=1,\;y=8 para x=0,9,\;y=8,01.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é z(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y}.
  • O ponto base para a diferencial é (x_0,y_0)=(1,8).
  • Para (b) usaremos (x,y)=(1,01,\,7,9).
  • Para (c) o novo ponto é (0,9,\,8,01), partindo de (1,8).

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e prática):
  • A diferencial total de uma função de duas variáveis z(x,y) é a aproximação linear da variação de z quando x e y sofrem pequenas mudanças. A fórmula é
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y.
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{d}z é a variação aproximada de z (o diferencial).
  • \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, mantendo y fixo.
  • \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, mantendo x fixo.
  • \mathrm{d}x e \mathrm{d}y são as pequenas variações em x e y.
Na prova: calcular as derivadas parciais (usando a regra de potência) e substituir no ponto para obter a diferencial em (1,8). Depois, para aproximar Z em um ponto próximo, usamos
Z \approx z(1,8) + \mathrm{d}z
com \mathrm{d}x = x-1 e \mathrm{d}y = y-8. Para \Delta z entre dois pontos, usamos a mesma fórmula com \mathrm{d}x e \mathrm{d}y correspondentes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{y} passo a passo usando a regra da potência:
  • Escrever as raízes como potências:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \sqrt[3]{y}=y^{1/3}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui usei a regra: \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(y^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}y^{-2/3}=\frac{1}{3y^{2/3}}.
Mesma regra de potência, com n=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (1,8):
  • Para x=1:
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,8)}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.
  • Para y=8: lembrar que 8^{1/3}=2, então 8^{2/3}=(8^{1/3})^2=2^2=4. Assim
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,8)}=\frac{1}{3\cdot 8^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Escrever a diferencial total de z no ponto (1,8):
\mathrm{d}z = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}x + \frac{1}{12}\,\mathrm{d}y.
Isto é a resposta da alínea (a), e será usada para as aproximações em (b) e (c).

Passo 6

Parte (b): aproximar Z em x=1,01 e y=7,9 usando a linearização em (1,8).
  • Primeiro calcule z(1,8):
z(1,8)=\sqrt{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3.
  • Variações: \mathrm{d}x=1,01-1=0,01 e \mathrm{d}y=7,9-8=-0,1.
  • Aplicar a fórmula da diferencial:
\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\cdot 0,01 + \frac{1}{12}\cdot(-0,1).
Fazendo as contas em forma de fração para evitar arredondamento:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{100}=\frac{1}{200},\qquad \frac{1}{12}\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac{1}{120}.
Colocando em denominador comum 600:
\mathrm{d}z=\frac{3}{600}-\frac{5}{600}=-\frac{2}{600}=-\frac{1}{300}.
  • Logo a aproximação é
Z\approx z(1,8)+\mathrm{d}z=3-\frac{1}{300}=\frac{899}{300}\approx 2,996666\ldots

Passo 7

Parte (c): aproximar \Delta z ao passar de (1,8) para (0,9,\,8,01).
  • Computar as variações: \mathrm{d}x=0,9-1=-0,1 e \mathrm{d}y=8,01-8=0,01.
  • Usar a diferencial:
\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\cdot(-0,1)+\frac{1}{12}\cdot 0,01.
Converter para frações:
\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac{1}{20},\qquad \frac{1}{12}\cdot\frac{1}{100}=\frac{1}{1200}.
Denominador comum 1200:
\mathrm{d}z=-\frac{60}{1200}+\frac{1}{1200}=-\frac{59}{1200}.
Em decimal isso é -0,0491666\ldots. Como \Delta z é a variação aproximada, temos \Delta z\approx \mathrm{d}z.

Resposta

a) \mathrm{d}z=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}x+\dfrac{1}{12}\,\mathrm{d}y\n
b) Z\approx 3-\dfrac{1}{300}=\dfrac{899}{300}\approx 2,996666\ldots\n
c) \Delta z\approx -\dfrac{59}{1200}\approx -0,0491666\ldots

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