O que é comprimento (de uma linha curva)? Como se calcula?
Passo 1
Você perguntou duas coisas simples e importantes: (1) o que é o comprimento de uma linha curva; (2) como se calcula. Não foram dados outros dados numéricos — é uma pergunta conceitual/prática. Vou responder mostrando a ideia geométrica, deduzindo as fórmulas mais usadas (forma explícita
, forma paramétrica, forma polar), dando exemplos resolvidos passo a passo e dizendo como proceder numa prova.
Passo 2
Idéia geométrica e aproximação por poligonais (intuição que justifica a fórmula).
- Imagine uma curva no plano ligando dois pontos. Para medir o comprimento, uma estratégia natural é aproximá‑la por uma cadeia de segmentos de reta (uma poligonal) que siga a curva com muitos pontos intermediários.
- Se os pontos na curva têm coordenadas
, a soma dos comprimentos dos segmentos é
- Se refinarmos a partição (mais pontos, segmentos menores) e o limite deste soma existir, chamamos esse limite de comprimento da curva. Formalmente, esse é o procedimento que leva a uma integral (é uma passagem Riemann): a soma de segmenros converge para uma integral quando a curva é suficientemente regular.
Passo 3
Derivação da fórmula para curva dada explicitamente por
.
- Seja uma curva dada por
para . Particione em subintervalos . Em cada subintervalo approximamos a curva por um segmento entre os pontos e . - O comprimento aproximado é
- Supondo
diferenciável, para pequeno vale a aproximação (fórmula do diferencial)
- Substituindo:
- Somando e passando ao limite (Riemann), obtemos a fórmula do comprimento (também chamada comprimento de arco):
- Explicando cada símbolo:
-
é o comprimento da curva entre e . -
é a derivada de (inclinação instantânea). - A função integranda
dá o fator de alongamento do eixo por unidade de arco.
-
- Condições: precisa-se que
seja integrável (suficientemente regular, por exemplo contínua) para que a integral faça sentido. Se for muito irregular, pode ser necessária definição mais ampla; na prática de prova costuma ser diferenciável e contínua.
Passo 4
Fórmula em parametrização (forma mais geral e prática).
- Muitas curvas são dadas por uma parametrização
. - Repetindo a ideia anterior com passos em
: e . O comprimento de um pequeno segmento é
- Integração dá a fórmula paramétrica:
- Significado:
-
e . - A raiz quadrada combina a variação em
e por unidade de .
-
- Condição: a parametrização deve ser regular, isto é,
quase sempre e as derivadas devem ser integráveis.
Passo 5
Fórmula em coordenadas polares.
- Se a curva é dada em polar por
, use a conversão para retangulares: . - Calculando derivadas e aplicando a fórmula paramétrica obtém‑se (após simplificação)
- Interpretação: a variação radial
e a componente circumferencial se combinam para dar o comprimento por variação de ângulo.
Passo 6
Exemplo 1 — linha reta (checagem simples).
- Curva: reta entre
e . Parametrização linear: . - Derivadas:
(constantes). - Aplicando a fórmula paramétrica:
que é a distância euclidiana — ótimo, consistente.
Passo 7
Exemplo 2 — semicírculo de raio
(duas maneiras; a trig parametrização é a mais simples).
- Curva explícita:
, . Derivada:
- Integrando pela fórmula explícita:
- Assim
- Esse é um integral clássico:
. Logo , comprimento do semicírculo. - Método mais curto: parametrizar por
, então
Passo 8
Exemplo 3 — parábola
de
a
(um exemplo que aparece em prova).
- Derivada:
. - Fórmula explícita:
- Integral conhecida (resultado padrão; é bom decorar o antiderivado ou saber derivá‑lo por substituições hiperbólicas/trig):
- Avaliando entre
e :
- Observação prática: esse resultado é exato; se for preciso um valor numérico aproximado, usa‑se cálculo numérico (em prova muitas vezes o resultado simbólico já basta).
Passo 9
Dicas práticas para a prova (como escolher método, simplificações e truques).
- Sempre procure a parametrização mais simples: curvas circulares -> trig; curvas radiais -> polar; polinomiais simples -> usar
. - Use simetria: se a curva é simétrica, calcule apenas uma parte e multiplique.
- Procure simplificações algébricas dentro da raiz; às vezes a integranda simplifica (como no círculo).
- Se a integral parecer complicada, tente mudar a parametrização (às vezes um bom parâmetro transforma uma raiz em constante).
- Esteja atento às hipóteses: a fórmula só vale quando a curva é rectificável (ou seja, o limite das somas de poligonais existe finito). Em provas típicas as funções dadas garantem isso (derivadas contínuas etc.).
Passo 10
Resumo final das fórmulas principais (pronto para memorização rápida).
- Curva explícita
:
- Curva paramétrica
:
- Curva em polares
:
Resposta
O comprimento de uma linha curva é o limite das somas dos comprimentos de poligonais que a aproximam (quando esse limite existe), e as fórmulas usuais são:
para
,
para parametrização
,
em coordenadas polares.