Seja c um arco de um círculo de raio r. Mostre que a área do correspondente setor circular é \frac{r}{2} vezes o comprimento de c.

Passo 1

O enunciado dá um arco c de um círculo de raio r. Pede para mostrar que a área do setor circular correspondente a esse arco é \dfrac{r}{2} vezes o comprimento de c.
Informações relevantes que temos:
  • O círculo tem raio r.
  • O arco c tem certo comprimento, que vou chamar de s (ou posso dizer "comprimento de c").
  • O setor circular correspondente é a porção do disco limitada por dois raios que interceptam o arco c e pelo próprio arco c.
    O objetivo é mostrar a relação entre a área A desse setor e o comprimento s do arco.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação útil e explicar um conceito-chave: o ângulo central \theta de um arco medido em radianos.
Definição (radianos): o ângulo central \theta em radianos é definido pela razão entre o comprimento do arco s e o raio r:
\theta=\frac{s}{r}.
Explicação intuitiva: um raio “varre” um arco de comprimento proporcional ao ângulo. Se o ângulo fosse \theta=1 radiano, o arco teria comprimento exatamente r. Por isso a fórmula s=r\theta é a expressão direta da definição de radiano.

Passo 3

Usando a definição de radiano obtemos imediatamente a fórmula do comprimento do arco em função do ângulo:
s=r\theta.
Para conferir que isso faz sentido: para o círculo todo, \theta=2\pi (uma volta completa) e então s= r\cdot 2\pi=2\pi r, que é a circunferência — tudo consistente.

Passo 4

Agora precisamos da fórmula da área A do setor de ângulo \theta. A ideia é que a área do setor é proporcional ao ângulo central: se \theta é uma fração de 2\pi, então a área é a mesma fração da área total do círculo.
Área do círculo completo: \pi r^2.
Fração do círculo correspondente ao setor: \dfrac{\theta}{2\pi}.
Portanto a área do setor é
A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2.
Simplificando:
A=\frac{1}{2}\,r^2\theta.
Observação didática: outra forma de ver essa fórmula é pensar em dividir o setor em muitos triângulos pequenos ou integrar em coordenadas polares; todos estes caminhos levam a A=\tfrac{1}{2}r^2\theta. Aqui usei a razão direta com a área do círculo porque é a maneira mais simples e direta.

Passo 5

Agora combinamos as duas fórmulas: s=r\theta (do Passo 3) e A=\dfrac{1}{2}r^2\theta (do Passo 4).
Isolando \theta pelo comprimento do arco: \theta=\dfrac{s}{r}. Substituindo em A:
A=\frac{1}{2}r^2\left(\frac{s}{r}\right).
Fazendo a simplificação algébrica:
A=\frac{1}{2}r\,s.
Reescrevendo de forma mais direta:
A=\frac{r}{2}\,s.

Passo 6

Interpretação final e exemplo numérico para fixar: a área do setor é metade do produto do raio pelo comprimento do arco. Exemplo: se r=2 e o arco tem comprimento s=\pi, então A=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\pi=\pi. Conferindo com a fórmula A=\tfrac{1}{2}r^2\theta: aqui \theta=s/r=\pi/2, então A=\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot(\pi/2)=\pi — bate certinho.
Força aí: a relação é simples e muito útil em problemas de geometria plana e aplicações físicas.

Resposta

\displaystyle A=\frac{r}{2}\times (\text{comprimento de }c)

Exercícios relacionados