Seja
um arco de um círculo de raio
. Mostre que a área do correspondente setor circular é
vezes o comprimento de
.
Passo 1
O enunciado dá um arco
de um círculo de raio
. Pede para mostrar que a área do setor circular correspondente a esse arco é
vezes o comprimento de
.
Informações relevantes que temos:
- O círculo tem raio
. - O arco
tem certo comprimento, que vou chamar de (ou posso dizer "comprimento de "). - O setor circular correspondente é a porção do disco limitada por dois raios que interceptam o arco
e pelo próprio arco .
O objetivo é mostrar a relação entre a áreadesse setor e o comprimento do arco.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação útil e explicar um conceito-chave: o ângulo central
de um arco medido em radianos.
Definição (radianos): o ângulo central
em radianos é definido pela razão entre o comprimento do arco
e o raio
:
Explicação intuitiva: um raio “varre” um arco de comprimento proporcional ao ângulo. Se o ângulo fosse
radiano, o arco teria comprimento exatamente
. Por isso a fórmula
é a expressão direta da definição de radiano.
Passo 3
Usando a definição de radiano obtemos imediatamente a fórmula do comprimento do arco em função do ângulo:
Para conferir que isso faz sentido: para o círculo todo,
(uma volta completa) e então
, que é a circunferência — tudo consistente.
Passo 4
Agora precisamos da fórmula da área
do setor de ângulo
. A ideia é que a área do setor é proporcional ao ângulo central: se
é uma fração de
, então a área é a mesma fração da área total do círculo.
Área do círculo completo:
.
Fração do círculo correspondente ao setor:
.
Portanto a área do setor é
Simplificando:
Observação didática: outra forma de ver essa fórmula é pensar em dividir o setor em muitos triângulos pequenos ou integrar em coordenadas polares; todos estes caminhos levam a
. Aqui usei a razão direta com a área do círculo porque é a maneira mais simples e direta.
Passo 5
Agora combinamos as duas fórmulas:
(do Passo 3) e
(do Passo 4).
Isolando
pelo comprimento do arco:
. Substituindo em
:
Fazendo a simplificação algébrica:
Reescrevendo de forma mais direta:
Passo 6
Interpretação final e exemplo numérico para fixar: a área do setor é metade do produto do raio pelo comprimento do arco. Exemplo: se
e o arco tem comprimento
, então
. Conferindo com a fórmula
: aqui
, então
— bate certinho.
Força aí: a relação é simples e muito útil em problemas de geometria plana e aplicações físicas.